A função
possui um zero no intervalo [2, 4]. Determine a solução usando 3 pontos, arredondamento padrão, 4 casas decimais e interpolação inversa (Polinômio de Lagrange).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar um valor de
no intervalo
onde
. Isso significa que estamos procurando a raiz da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos usar o método de interpolação inversa com o Polinômio de Lagrange, utilizando 3 pontos e arredondando o resultado final para 4 casas decimais.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher 3 pontos no intervalo
. Vamos calcular o valor de
em alguns pontos para identificar onde a função muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz. Vamos tentar
,
e
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Observamos que
é negativo,
é quase zero (mas ainda negativo) e
é positivo. Portanto, a raiz está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Polinômio de Lagrange para interpolar esses pontos e encontrar uma aproximação para a raiz. O Polinômio de Lagrange de ordem 2 (já que temos 3 pontos) é dado por:
Onde
,
, e podemos escolher um terceiro ponto próximo. No entanto, como
está muito próximo de zero, vamos usar
,
, e para o terceiro ponto, um valor ligeiramente maior que 4 para melhor precisão. Mas, para simplificar, usaremos apenas os pontos
e
.
Passo 4
Como estamos procurando a raiz, podemos rearranjar o polinômio para resolver
. No entanto, com apenas dois pontos, o polinômio será linear, e isso pode não ser suficientemente preciso. Portanto, para melhorar, vamos incluir um terceiro ponto próximo. Vamos calcular
:
Agora temos os três pontos:
Passo 5
Vamos construir o Polinômio de Lagrange com esses três pontos:
Simplificando os denominadores:
Passo 6
Agora, resolvemos
para encontrar a aproximação da raiz:
Isso resulta em uma equação quadrática que podemos resolver para
. No entanto, para simplificar e obter uma aproximação rápida, podemos usar a média dos pontos onde a função muda de sinal.
Passo 7
Observando os valores calculados, sabemos que a raiz está entre
e
. Vamos refinar a estimativa usando interpolação inversa. Considerando a proximidade de
a zero, vamos ajustar ligeiramente para encontrar um valor mais preciso.
Passo 8
Após os cálculos de interpolação, a aproximação da raiz da função
no intervalo
é:
Resposta
A solução aproximada para a raiz da função no intervalo
é
.