Dado o seguinte sistema de equações lineares:
1.19 times 1+2.11 times 2-100 times 3+x 4=1.12
14.2 times 1-0.122 times 2+12.2 times 3-times 4=3.44
100 times 2-99.9 times 3+x 4=2.15
15.3 times 1+0.110 times 2-13.1 times 3-times 4=4.16
(a) Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, aplicando arredondamento com 3 casas decimais após a vírgula em cada cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4). O conteúdo envolve sistemas lineares e vamos usar o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial para resolver. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar as operações necessárias, sempre arredondando os resultados para três casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma tabular que facilita a aplicação do método de Gauss. Cada linha representa uma equação e cada coluna representa os coeficientes das incógnitas, com a última coluna sendo os termos constantes.
1.190 & 2.110 & -100.000 & 1.000 & | & 1.120 14.200 & -0.122 & 12.200 & -1.000 & | & 3.440 0.000 & 100.000 & -99.900 & 1.000 & | & 2.150 15.300 & 0.110 & -13.100 & -1.000 & | & 4.160

Passo 3

Agora, vamos começar o pivoteamento parcial, que significa escolher o maior coeficiente (em valor absoluto) na coluna que estamos trabalhando para evitar erros de arredondamento. Vamos começar pela primeira coluna.
O maior valor absoluto na primeira coluna é 15.300, que está na quarta linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a quarta linha.
15.300 & 0.110 & -13.100 & -1.000 & | & 4.160 14.200 & -0.122 & 12.200 & -1.000 & | & 3.440 0.000 & 100.000 & -99.900 & 1.000 & | & 2.150 1.190 & 2.110 & -100.000 & 1.000 & | & 1.120

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna usando operações de linha. O pivô é o elemento 15.300.
Para a segunda linha:
Nova Linha 2 = Linha 2 - ( 14.20015.300 ) times Linha 1
Calculando:
14.20015.300 approx 0.928
Aplicando:
Linha 2 = [14.200, -0.122, 12.200, -1.000, |, 3.440] - 0.928 times [15.300, 0.110, -13.100, -1.000, |, 4.160]
approx [0.000, -0.122 - (0.928 times 0.110), 12.200 - (0.928 times -13.100), -1.000 - (0.928 times -1.000), |, 3.440 - (0.928 times 4.160)]
approx [0.000, -0.122 - 0.102, 12.200 + 12.125, -1.000 + 0.928, |, 3.440 - 3.861]
approx [0.000, -0.224, 24.325, -0.072, |, -0.421]
Arredondando para três casas:
[0.000, -0.224, 24.325, -0.072, |, -0.421]
Para a quarta linha:
Nova Linha 4 = Linha 4 - ( 1.19015.300 ) times Linha 1
Calculando:
1.19015.300 approx 0.078
Aplicando:
Linha 4 = [1.190, 2.110, -100.000, 1.000, |, 1.120] - 0.078 times [15.300, 0.110, -13.100, -1.000, |, 4.160]
approx [1.190 - (0.078 times 15.300), 2.110 - (0.078 times 0.110), -100.000 - (0.078 times -13.100), 1.000 - (0.078 times -1.000), |, 1.120 - (0.078 times 4.160)]
approx [1.190 - 1.195, 2.110 - 0.009, -100.000 + 1.019, 1.000 + 0.078, |, 1.120 - 0.325]
approx [-0.005, 2.101, -98.981, 1.078, |, 0.795]
Arredondando para três casas:
[-0.005, 2.101, -98.981, 1.078, |, 0.795]
A terceira linha já tem zero na primeira coluna, então não precisamos fazer nada.
A matriz fica assim:
15.300 & 0.110 & -13.100 & -1.000 & | & 4.160 0.000 & -0.224 & 24.325 & -0.072 & | & -0.421 0.000 & 100.000 & -99.900 & 1.000 & | & 2.150 -0.005 & 2.101 & -98.981 & 1.078 & | & 0.795

Passo 5

Passo seguinte é trabalhar na segunda coluna. Primeiro, fazemos o pivoteamento parcial na segunda coluna, procurando o maior valor absoluto na coluna (abaixo ou na posição atual).
Na segunda coluna, os valores são: -0.224, 100.000, e 2.101. O maior em valor absoluto é 100.000 na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha.
15.300 & 0.110 & -13.100 & -1.000 & | & 4.160 0.000 & 100.000 & -99.900 & 1.000 & | & 2.150 0.000 & -0.224 & 24.325 & -0.072 & | & -0.421 -0.005 & 2.101 & -98.981 & 1.078 & | & 0.795

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna ( 100.000).
Para a terceira linha:
Nova Linha 3 = Linha 3 - ( -0.224100.000 ) times Linha 2
Calculando:
-0.224100.000 = -0.00224
Aplicando:
Linha 3 = [0.000, -0.224, 24.325, -0.072, |, -0.421] - (-0.00224) times [0.000, 100.000, -99.900, 1.000, |, 2.150]
= [0.000, -0.224 + 0.224, 24.325 + 0.224 times 99.900, -0.072 - 0.00224 times 1.000, |, -0.421 - 0.00224 times 2.150]
= [0.000, 0.000, 24.325 + 22.426, -0.072 - 0.002, |, -0.421 - 0.005]
= [0.000, 0.000, 46.751, -0.074, |, -0.426]
Arredondando para três casas:
[0.000, 0.000, 46.751, -0.074, |, -0.426]
Para a quarta linha:
Nova Linha 4 = Linha 4 - ( 2.101100.000 ) times Linha 2
Calculando:
2.101100.000 = 0.02101
Aplicando:
Linha 4 = [-0.005, 2.101, -98.981, 1.078, |, 0.795] - 0.02101 times [0.000, 100.000, -99.900, 1.000, |, 2.150]
= [-0.005, 2.101 - 2.101, -98.981 + 0.02101 times 99.900, 1.078 - 0.02101 times 1.000, |, 0.795 - 0.02101 times 2.150]
= [-0.005, 0.000, -98.981 + 2.097, 1.078 - 0.021, |, 0.795 - 0.045]
= [-0.005, 0.000, -96.884, 1.057, |, 0.750]
Arredondando para três casas:
[-0.005, 0.000, -96.884, 1.057, |, 0.750]
A matriz agora fica:
15.300 & 0.110 & -13.100 & -1.000 & | & 4.160 0.000 & 100.000 & -99.900 & 1.000 & | & 2.150 0.000 & 0.000 & 46.751 & -0.074 & | & -0.426 -0.005 & 0.000 & -96.884 & 1.057 & | & 0.750

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Primeiro, identificamos o pivô na terceira coluna, que é o maior valor absoluto na coluna abaixo ou na posição atual. Aqui, 46.751 na terceira linha é o nosso pivô.
Não é necessário trocar linhas, pois o pivô já está na posição correta.
Vamos zerar os elementos abaixo do pivô na terceira coluna.
Para a quarta linha:
Nova Linha 4 = Linha 4 - ( -96.88446.751 ) times Linha 3
Calculando:
-96.88446.751 approx -2.075
Aplicando:
Linha 4 = [-0.005, 0.000, -96.884, 1.057, |, 0.750] - (-2.075) times [0.000, 0.000, 46.751, -0.074, |, -0.426]
= [-0.005, 0.000, -96.884 + 2.075 times 46.751, 1.057 + 2.075 times 0.074, |, 0.750 + 2.075 times 0.426]
= [-0.005, 0.000, -96.884 + 96.751, 1.057 + 0.154, |, 0.750 + 0.885]
= [-0.005, 0.000, -0.133, 1.211, |, 1.635]
Arredondando para três casas:
[-0.005, 0.000, -0.133, 1.211, |, 1.635]
A matriz fica assim:
15.300 & 0.110 & -13.100 & -1.000 & | & 4.160 0.000 & 100.000 & -99.900 & 1.000 & | & 2.150 0.000 & 0.000 & 46.751 & -0.074 & | & -0.426 -0.005 & 0.000 & -0.133 & 1.211 & | & 1.635

Passo 8

Agora, vamos resolver as incógnitas começando de baixo para cima (retro-substituição).
Primeiro, da quarta linha:
-0.005x1 + 0.000x2 -0.133x3 +1.211x4 = 1.635
Simplificando:
-0.133x3 +1.211x4 = 1.635
Mas vamos primeiro resolver a terceira linha para x3:
46.751x3 -0.074x4 = -0.426
Resolvendo para x3:
x3 = -0.426 + 0.074x446.751
x3 approx -0.426 + 0.074x446.751 approx -0.009 + 0.002x4
Arredondando para três casas:
x3 approx -0.009 + 0.002x4
Agora, substituímos x3 na quarta equação:
-0.133(-0.009 + 0.002x4) +1.211x4 = 1.635
0.0012 + -0.000266x4 +1.211x4 = 1.635
1.2107x4 = 1.633
x4 approx 1.6331.2107 approx 1.350
Agora, substituímos x4 de volta para encontrar x3:
x3 approx -0.009 + 0.002 times 1.350 approx -0.009 + 0.003 approx -0.006
Agora, vamos para a segunda linha:
100.000x2 -99.900x3 +1.000x4 = 2.150
Substituindo x3 e x4:
100.000x2 -99.900(-0.006) +1.000(1.350) = 2.150
100.000x2 +0.5994 +1.350 = 2.150
100.000x2 = 2.150 -0.5994 -1.350 approx 0.2016
x2 approx 0.2016100.000 approx 0.002
Finalmente, da primeira linha:
15.300x1 +0.110x2 -13.100x3 -1.000x4 = 4.160
Substituindo x2, x3 e x4:
15.300x1 +0.110(0.002) -13.100(-0.006) -1.000(1.350) = 4.160
15.300x1 +0.0002 +0.0786 -1.350 = 4.160
15.300x1 -1.2712 = 4.160
15.300x1 = 4.160 +1.2712 approx 5.4312
x1 approx 5.431215.300 approx 0.355

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
x1 = 0.355, x2 = 0.002, x3 = -0.006, x4 = 1.350

Exercícios relacionados