A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp.
|
calor específico |
---|---|
20 | 0.99907 |
25 | 0.99852 |
30 | 0.99826 |
35 | 0.99818 |
40 | 0.99828 |
45 | 0.99849 |
50 | 0.99878 |
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
(a) o calor específico da água a ;
(a) o calor específico da água a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra como o calor específico da água muda com a temperatura. O exercício pede para descobrir qual é o calor específico da água quando a temperatura está em 32,5°C. Para fazer isso, vamos usar uma técnica chamada interpolação com um polinômio de grau 2, ou seja, uma curva que é definida por uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher três pontos da tabela que estão próximos de 32,5°C para fazer a interpolação. Olhando a tabela, os pontos mais próximos são 30°C, 35°C e 40°C, com os respectivos calores específicos de 0,99826, 0,99818 e 0,99828.
Passo 3
Agora, vamos montar uma equação quadrática que passa por esses três pontos. A forma geral de um polinômio de segundo grau é:
onde
é o calor específico e
é a temperatura. Vamos substituir os valores dos três pontos na equação para criar um sistema de equações.
Passo 4
Substituindo os pontos:
- Para 30°C:
- Para 35°C:
- Para 40°C:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (a, b e c).
Passo 5
Vamos resolver o sistema. Começamos subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar o
:
- Segunda - Primeira:
- Terceira - Primeira:
Agora, simplificamos:
Podemos dividir a segunda equação por 10:
Agora, expressamos
em termos de
:
Substituímos esse valor de
na primeira equação:
Agora, encontramos
:
Por fim, substituímos
e
em uma das equações iniciais para encontrar
. Usando a primeira:
Resposta
Então, a equação do polinômio é:
Agora, substituímos
para encontrar o calor específico:
Portanto, o calor específico da água a 32,5°C é aproximadamente 0,9982.