A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp. ( ^circ C) calor específico
20 0.99907
25 0.99852
30 0.99826
35 0.99818
40 0.99828
45 0.99849
50 0.99878
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
(a) o calor específico da água a 32.5^circ C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra como o calor específico da água muda com a temperatura. O exercício pede para descobrir qual é o calor específico da água quando a temperatura está em 32,5°C. Para fazer isso, vamos usar uma técnica chamada interpolação com um polinômio de grau 2, ou seja, uma curva que é definida por uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três pontos da tabela que estão próximos de 32,5°C para fazer a interpolação. Olhando a tabela, os pontos mais próximos são 30°C, 35°C e 40°C, com os respectivos calores específicos de 0,99826, 0,99818 e 0,99828.

Passo 3

Agora, vamos montar uma equação quadrática que passa por esses três pontos. A forma geral de um polinômio de segundo grau é:
y = ax^2 + bx + c
onde é o calor específico e é a temperatura. Vamos substituir os valores dos três pontos na equação para criar um sistema de equações.

Passo 4

Substituindo os pontos:
  1. Para 30°C:
0,99826 = a(30)^2 + b(30) + c
0,99826 = 900a + 30b + c
  1. Para 35°C:
0,99818 = a(35)^2 + b(35) + c
0,99818 = 1225a + 35b + c
  1. Para 40°C:
0,99828 = a(40)^2 + b(40) + c
0,99828 = 1600a + 40b + c
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (a, b e c).

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Começamos subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar o (1225a + 35b + c) - (900a + 30b + c) = 0,99818 - 0,99826 :
  • Segunda - Primeira:
325a + 5b = -0,00008
(1600a + 40b + c) - (900a + 30b + c) = 0,99828 - 0,99826
  • Terceira - Primeira:
700a + 10b = 0,00002
70a + b = 0,000002
Agora, simplificamos:
  1. b = 0,000002 - 70a
  2. 325a + 5(0,000002 - 70a) = -0,00008
Podemos dividir a segunda equação por 10:
325a + 0,00001 - 350a = -0,00008
Agora, expressamos -25a = -0,00009 em termos de a = 0,0000925 :
a = 0,0000036
Substituímos esse valor de b = 0,000002 - 70(0,0000036) na primeira equação:
b = 0,000002 - 0,000252
b = -0,00025
0,99826 = 900(0,0000036) + 30(-0,00025) + c
0,99826 = 0,00324 - 0,0075 + c
c = 0,99826 - 0,00324 + 0,0075
Agora, encontramos c = 1,0025 :
Por fim, substituímos e em uma das equações iniciais para encontrar . Usando a primeira:

Resposta

Então, a equação do polinômio é:
y = 0,0000036x^2 - 0,00025x + 1,0025
Agora, substituímos y = 0,0000036(32,5)^2 - 0,00025(32,5) + 1,0025 para encontrar o calor específico:
y = 0,0000036(1056,25) - 0,008125 + 1,0025
y = 0,0038 - 0,008125 + 1,0025
y ≈ 0,9982
Portanto, o calor específico da água a 32,5°C é aproximadamente 0,9982.

Exercícios relacionados