Generalize as expressões anteriores para obter
a partir da diferença dividida
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos generalizar as expressões anteriores para conseguir obter uma função
a partir da diferença dividida
. Isso pertence ao assunto de Interpolação Polinomial, especificamente utilizando diferenças divididas. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de interpolação de Newton usando diferenças divididas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são diferenças divididas. As diferenças divididas são uma maneira de construir o polinômio interpolador de Newton de forma eficiente. Elas nos permitem calcular os coeficientes do polinômio sem precisar resolver um sistema de equações.
Passo 3
O polinômio de interpolação de Newton é construído da seguinte forma:
Aqui, cada
representa uma diferença dividida de ordem
.
Passo 4
Vamos entender cada parte dessa expressão:
-
é simplesmente o valor da função em . -
é a diferença dividida entre e , calculada como . -
é a diferença dividida de segunda ordem, que leva em conta três pontos , e assim por diante.
Cada termo adicional no polinômio adiciona uma nova diferença dividida e um novo fator
.
Passo 5
Para generalizar, queremos expressar
em termos de uma diferença dividida que inclui todos os pontos
. Isso significa que o polinômio incluirá todos esses termos multiplicativos.
Passo 6
Portanto, a generalização da expressão para obter
a partir da diferença dividida
é:
Resposta
A expressão generalizada para
em termos das diferenças divididas é: