Generalize as expressões anteriores para obter f(x) a partir da diferença dividida f[y0, ldots, yn, y].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos generalizar as expressões anteriores para conseguir obter uma função a partir da diferença dividida . Isso pertence ao assunto de Interpolação Polinomial, especificamente utilizando diferenças divididas. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de interpolação de Newton usando diferenças divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são diferenças divididas. As diferenças divididas são uma maneira de construir o polinômio interpolador de Newton de forma eficiente. Elas nos permitem calcular os coeficientes do polinômio sem precisar resolver um sistema de equações.

Passo 3

O polinômio de interpolação de Newton é construído da seguinte forma:
f(x) = f[y0] + f[y0, y1](x - y0) + f[y0, y1, y2](x - y0)(x - y1) + ldots + f[y0, y1, ldots, yn](x - y0)(x - y1)ldots(x - yn-1)
Aqui, cada representa uma diferença dividida de ordem .

Passo 4

Vamos entender cada parte dessa expressão:
  • é simplesmente o valor da função em .
  • é a diferença dividida entre e , calculada como .
  • é a diferença dividida de segunda ordem, que leva em conta três pontos , e assim por diante.
Cada termo adicional no polinômio adiciona uma nova diferença dividida e um novo fator .

Passo 5

Para generalizar, queremos expressar em termos de uma diferença dividida que inclui todos os pontos . Isso significa que o polinômio incluirá todos esses termos multiplicativos.

Passo 6

Portanto, a generalização da expressão para obter f(x) = f[y0] + f[y0, y1](x - y0) + f[y0, y1, y2](x - y0)(x - y1) + ldots + f[y0, y1, ldots, yn, y](x - y0)(x - y1)ldots(x - yn) a partir da diferença dividida é:

Resposta

A expressão generalizada para f(x) = f[y0] + f[y0, y1](x - y0) + f[y0, y1, y2](x - y0)(x - y1) + ldots + f[y0, y1, ldots, yn, y](x - y0)(x - y1)ldots(x - yn) em termos das diferenças divididas é:

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