Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação e permite separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição inteligente. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 4
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Essa é uma equação que pode ser separada, ou seja, conseguimos colocar todas as
de um lado e as
do outro.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos os dois lados:
Passo 6
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Multiplicando por
:
Onde
é uma nova constante.
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto:
Passo 8
Lembrando que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo
na expressão para
:
No entanto, simplificando mais, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: