Resolva as seguintes equações diferenciais.
x d yd x=y+x e^y / x, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
x d yd x = y + x e^y / x, y(1) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação e permite separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição inteligente. Vamos definir:
z = yx
Isso significa que:
y = z x
Agora, precisamos encontrar a derivada de dydx = z + x dzdx em relação a :

Passo 3

Substituindo x (z + x dzdx) = z x + x e^z e x z + x^2 dzdx = z x + x e^z na equação original:
x^2 dzdx = x e^z
Simplificando:
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados por dzdx = e^zx :
Essa é uma equação que pode ser separada, ou seja, conseguimos colocar todas as de um lado e as do outro.

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
d ze^z = d xx
Agora, integramos os dois lados:
integral d ze^z = integral d xx

Passo 6

As integrais são:
- e^-z = ln|x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para e^-z = -ln|x| - C :
e^-z = ln|x| + C'
Multiplicando por -z = ln(ln|x| + C') :
z = - ln(ln|x| + C')
Onde é uma nova constante.
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto:

Passo 8

Lembrando que yx = - ln(ln|x| + C') :
y = -x ln(ln|x| + C')
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial 1 = -1 cdot ln(ln 1 + C') Rightarrow 1 = -ln(C') para encontrar a constante ln(C') = -1 Rightarrow C' = e^-1 :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo y = -x ln(ln|x| + e^-1) na expressão para y = x (1 - ln x) :
No entanto, simplificando mais, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x (1 - ln x)

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