Dado o sistema abaixo:
[ccc 0,8 & -0,4 & 0 -0,4 & 0,8 & -0,4 0 & -0,4 & 0,8 ]l x1 x2 x3 =c 41 25 105
(A) Resolva o sistema utilizando o método de Gaus-Seidel até epsilons=5 %.
(B) Repita o item (A) utilizando as iterações de Jacobi.
© Repita o item (A), porém agora utilize lambda=1,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. A gente vai precisar entender como esse método funciona, fazer algumas iterações e parar quando a diferença entre as aproximações for menor ou igual a 5%. O sistema que a gente tem é:
[ccc 0,8 & -0,4 & 0 -0,4 & 0,8 & -0,4 0 & -0,4 & 0,8 ]l x1 x2 x3 =c 41 25 105

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma forma iterativa de resolver sistemas lineares. Basicamente, a gente começa com um palpite inicial para as variáveis (geralmente zero) e vai atualizando cada variável usando os valores mais recentes disponíveis. A ideia é continuar esse processo até que as variáveis parem de mudar muito, ou seja, até que a diferença entre as iterações seja menor que um certo valor, que no nosso caso é 5%.

Passo 3

Vamos reescrever o sistema para isolar cada variável:
  1. Para 0,8x1 - 0,4x2 = 41 Rightarrow x1 = 41 + 0,4x20,8 :
    -0,4x1 + 0,8x2 - 0,4x3 = 25 Rightarrow x2 = 25 + 0,4x1 + 0,4x30,8
  2. Para -0,4x2 + 0,8x3 = 105 Rightarrow x3 = 105 + 0,4x20,8 :
  3. Para :

Passo 4

Vamos começar com um palpite inicial. Vamos supor que todas as variáveis começam em zero:
x1^(0) = 0 x2^(0) = 0 x3^(0) = 0

Passo 5

Primeira Iteração ( x1^(1) = 41 + 0,4 times x2^(0)0,8 = 41 + 0,4 times 00,8 = 410,8 = 51,25 ):
  1. Calculando x2^(1) = 25 + 0,4 times x1^(1) + 0,4 times x3^(0)0,8 = 25 + 0,4 times 51,25 + 0,4 times 00,8 = 25 + 20,50,8 = 45,50,8 = 56,875 :
    x3^(1) = 105 + 0,4 times x2^(1)0,8 = 105 + 0,4 times 56,8750,8 = 105 + 22,750,8 = 127,750,8 = 159,6875
  2. Calculando epsilon = | x^(1) - x^(0)x^(1) | times 100% epsilonx1 = | 51,25 - 051,25 | times 100% approx 100% epsilonx2 = | 56,875 - 056,875 | times 100% approx 100% epsilonx3 = | 159,6875 - 0159,6875 | times 100% approx 100% :
  3. Calculando :
Verificando o erro relativo:
Vamos calcular o erro relativo para cada variável:
Como todas as variáveis têm erro maior que 5%, vamos para a próxima iteração.

Passo 6

Segunda Iteração ( x1^(2) = 41 + 0,4 times x2^(1)0,8 = 41 + 0,4 times 56,8750,8 = 41 + 22,750,8 = 63,750,8 = 79,6875 ):
  1. Calculando x2^(2) = 25 + 0,4 times x1^(2) + 0,4 times x3^(1)0,8 = 25 + 0,4 times 79,6875 + 0,4 times 159,68750,8 = 25 + 31,875 + 63,8750,8 = 120,750,8 = 150,9375 :
    x3^(2) = 105 + 0,4 times x2^(2)0,8 = 105 + 0,4 times 150,93750,8 = 105 + 60,3750,8 = 165,3750,8 = 206,71875
  2. Calculando epsilonx1 = | 79,6875 - 51,2579,6875 | times 100% approx 35,9% epsilonx2 = | 150,9375 - 56,875150,9375 | times 100% approx 62,2% epsilonx3 = | 206,71875 - 159,6875206,71875 | times 100% approx 22,1% :
  3. Calculando :
Calculando o erro relativo:
Como ainda há erros acima de 5%, vamos continuar.

Passo 7

Terceira Iteração ( x1^(3) = 41 + 0,4 times x2^(2)0,8 = 41 + 0,4 times 150,93750,8 = 41 + 60,3750,8 = 101,3750,8 = 126,71875 ):
  1. Calculando x2^(3) = 25 + 0,4 times x1^(3) + 0,4 times x3^(2)0,8 = 25 + 0,4 times 126,71875 + 0,4 times 206,718750,8 = 25 + 50,6875 + 82,68750,8 = 158,3750,8 = 197,96875 :
    x3^(3) = 105 + 0,4 times x2^(3)0,8 = 105 + 0,4 times 197,968750,8 = 105 + 79,18750,8 = 184,18750,8 = 230,234375
  2. Calculando epsilonx1 = | 126,71875 - 79,6875126,71875 | times 100% approx 37,4% epsilonx2 = | 197,96875 - 150,9375197,96875 | times 100% approx 24,3% epsilonx3 = | 230,234375 - 206,71875230,234375 | times 100% approx 10,3% :
  3. Calculando :
Calculando o erro relativo:
Ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para a próxima iteração.

Passo 8

Quarta Iteração ( x1^(4) = 41 + 0,4 times x2^(3)0,8 = 41 + 0,4 times 197,968750,8 = 41 + 79,18750,8 = 120,18750,8 = 150,234375 ):
  1. Calculando x2^(4) = 25 + 0,4 times x1^(4) + 0,4 times x3^(3)0,8 = 25 + 0,4 times 150,234375 + 0,4 times 230,2343750,8 = 25 + 60,09375 + 92,093750,8 = 177,18750,8 = 221,484375 :
    x3^(4) = 105 + 0,4 times x2^(4)0,8 = 105 + 0,4 times 221,4843750,8 = 105 + 88,593750,8 = 193,593750,8 = 242,0
  2. Calculando epsilonx1 = | 150,234375 - 126,71875150,234375 | times 100% approx 15,5% epsilonx2 = | 221,484375 - 197,96875221,484375 | times 100% approx 10,6% epsilonx3 = | 242,0 - 230,234375242,0 | times 100% approx 5,0% :
  3. Calculando :
Calculando o erro relativo:
Agora, o erro de já está exatamente em 5%, que é o nosso critério. Vamos parar por aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com erro relativo de 5% é:
x1 approx 150,23 x2 approx 221,48 x3 approx 242,00

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