Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU com pivotamento parcial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a decomposição LU com pivotamento parcial. O que isso significa? Basicamente, vamos quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (lower - triangular) e U (upper - triangular), para facilitar a resolução das equações. Para isso, precisamos entender como manipular matrizes e aplicar o pivotamento para garantir que a decomposição seja possível de forma estável.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial . A matriz é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o pivotamento parcial. Isso significa que, para cada coluna, vamos procurar o maior elemento em valor absoluto e trocar as linhas para colocar esse elemento na diagonal principal. Isso ajuda a evitar problemas de números muito pequenos ou zeros que poderiam complicar os cálculos.
Para a primeira coluna, os elementos são 2, -3 e -8. O maior em valor absoluto é 8, então trocamos a primeira linha com a terceira.

Passo 4

Agora, vamos decompor em e . Inicialmente, será uma matriz identidade e será igual a .

Passo 5

Vamos começar eliminando os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, calculamos os multiplicadores:
Atualizamos a matriz com esses multiplicadores:
Agora, atualizamos a matriz subtraindo vezes a primeira linha da segunda linha e vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar o elemento abaixo da diagonal principal na segunda coluna. Calculamos o multiplicador:
Atualizamos a matriz :
E atualizamos a matriz subtraindo vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 7

Agora que temos , podemos resolver o sistema através de duas etapas: resolver e depois .
Primeiro, resolvemos para :
Substituindo :
Agora, substituímos e na terceira equação:

Passo 8

Agora, resolvemos :
Começamos pela terceira equação:
Aproximando, temos .
Substituímos na segunda equação:
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:

Exercícios relacionados

Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que .
Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Um seguinte sistema de equações é criado para determinar concentrações (com os c
Resolva esse problema pelo método de Gauss-Seidel até .
Dado o sistema abaixo:
(A) Resolva o sistema utilizando o método de Gaus-Seidel até .
(B) Repita o item (A) utilizando as iterações de Jacobi.
© Repita o item (A), porém agora utilize .