Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU com pivotamento parcial:
2 x1-6 x2-x3 & =-38 -3 x1-x2+7 x3 & =-34 -8 x1+x2-2 x3 & =-20

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a decomposição LU com pivotamento parcial. O que isso significa? Basicamente, vamos quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (lower - triangular) e U (upper - triangular), para facilitar a resolução das equações. Para isso, precisamos entender como manipular matrizes e aplicar o pivotamento para garantir que a decomposição seja possível de forma estável.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 2 & -6 & -1 -3 & -1 & 7 -8 & 1 & -2 , b = -38 -34 -20 . A matriz é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o pivotamento parcial. Isso significa que, para cada coluna, vamos procurar o maior elemento em valor absoluto e trocar as linhas para colocar esse elemento na diagonal principal. Isso ajuda a evitar problemas de números muito pequenos ou zeros que poderiam complicar os cálculos.
Para a primeira coluna, os elementos são 2, -3 e -8. O maior em valor absoluto é 8, então trocamos a primeira linha com a terceira.
A = -8 & 1 & -2 -3 & -1 & 7 2 & -6 & -1 , b = -20 -34 -38

Passo 4

Agora, vamos decompor L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = -8 & 1 & -2 -3 & -1 & 7 2 & -6 & -1 em e . Inicialmente, será uma matriz identidade e será igual a .

Passo 5

Vamos começar eliminando os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, calculamos os multiplicadores:
m21 = -3-8 = 38, m31 = 2-8 = -14
Atualizamos a matriz L = 1 & 0 & 0 38 & 1 & 0 -14 & 0 & 1 com esses multiplicadores:
U = -8 & 1 & -2 0 & -58 & 134 0 & -72 & -12
Agora, atualizamos a matriz subtraindo vezes a primeira linha da segunda linha e vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar o elemento abaixo da diagonal principal na segunda coluna. Calculamos o multiplicador:
m32 = -72-58 = 72 times 85 = 2810 = 145
Atualizamos a matriz L = 1 & 0 & 0 38 & 1 & 0 -14 & 145 & 1 :
U = -8 & 1 & -2 0 & -58 & 134 0 & 0 & 910
E atualizamos a matriz subtraindo vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 7

Agora que temos y1 = -20 38y1 + y2 = -34 -14y1 + 145y2 + y3 = -38 , podemos resolver o sistema através de duas etapas: resolver 38(-20) + y2 = -34 Rightarrow -608 + y2 = -34 Rightarrow y2 = -34 + 7.5 = -26.5 e depois -14(-20) + 145(-26.5) + y3 = -38 Rightarrow 5 - 74.2 + y3 = -38 Rightarrow y3 = -38 + 69.2 = 31.2 .
Primeiro, resolvemos para :
Substituindo :
Agora, substituímos e na terceira equação:

Passo 8

Agora, resolvemos -8x1 + x2 - 2x3 = -20 -58x2 + 134x3 = -26.5 910x3 = 31.2 :
910x3 = 31.2 Rightarrow x3 = 31.2 times 109 = 34.666
Começamos pela terceira equação:
-58x2 + 134(34.666) = -26.5 Rightarrow -58x2 + 112.666 = -26.5 Rightarrow -58x2 = -139.166 Rightarrow x2 = -139.166 times 8-5 = 222.666
Aproximando, temos -8x1 + 222.666 - 2(34.666) = -20 Rightarrow -8x1 + 222.666 - 69.333 = -20 Rightarrow -8x1 = -20 - 153.333 Rightarrow -8x1 = -173.333 Rightarrow x1 = -173.333-8 = 21.666 .
Substituímos na segunda equação:
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
x1 = 21.666, x2 = 222.666, x3 = 34.666

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