Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU com pivotamento parcial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a decomposição LU com pivotamento parcial. O que isso significa? Basicamente, vamos quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (lower - triangular) e U (upper - triangular), para facilitar a resolução das equações. Para isso, precisamos entender como manipular matrizes e aplicar o pivotamento para garantir que a decomposição seja possível de forma estável.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial . A matriz é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o pivotamento parcial. Isso significa que, para cada coluna, vamos procurar o maior elemento em valor absoluto e trocar as linhas para colocar esse elemento na diagonal principal. Isso ajuda a evitar problemas de números muito pequenos ou zeros que poderiam complicar os cálculos.
Para a primeira coluna, os elementos são 2, -3 e -8. O maior em valor absoluto é 8, então trocamos a primeira linha com a terceira.
Passo 4
Agora, vamos decompor em e . Inicialmente, será uma matriz identidade e será igual a .
Passo 5
Vamos começar eliminando os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, calculamos os multiplicadores:
Atualizamos a matriz com esses multiplicadores:
Agora, atualizamos a matriz subtraindo vezes a primeira linha da segunda linha e vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 6
Em seguida, vamos eliminar o elemento abaixo da diagonal principal na segunda coluna. Calculamos o multiplicador:
Atualizamos a matriz :
E atualizamos a matriz subtraindo vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 7
Agora que temos , podemos resolver o sistema através de duas etapas: resolver e depois .