Seja
Descreve o algoritmo para calcular valor da função
utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. O objetivo é criar um algoritmo para calcular o valor dessa função usando um sistema de ponto flutuante, garantindo que o erro relativo do resultado seja da mesma ordem do erro de representação do sistema. Isso envolve entender como os números são representados em ponto flutuante e como os erros podem afetar os cálculos.
Passo 2
Vamos começar analisando a função
. Quando calculamos essa função em ponto flutuante, podemos enfrentar problemas de precisão, especialmente para valores grandes de
. Por exemplo, se
for muito grande,
pode exceder a capacidade de representação do sistema, causando overflow, ou a soma
pode levar a uma perda de significância, onde os dígitos significativos são cancelados.
Passo 3
Para evitar esses problemas, podemos reescrever a função de uma forma que seja numericamente mais estável. Observe que:
Essa manipulação ajuda a evitar a perda de significância quando
é grande.
Passo 4
No entanto, essa reformulação também pode levar a problemas quando
é pequeno, pois
pode ser muito próximo de zero, aumentando o erro relativo. Para equilibrar, podemos usar uma abordagem condicional baseada no valor de
.
Passo 5
Vamos definir um limiar
baseado no erro de representação do sistema de ponto flutuante. Se
, usamos a forma original
. Caso contrário, usamos a forma reescrita
. Isso garante que o erro relativo seja controlado em ambas as situações.
Passo 6
Agora, vamos resumir o algoritmo:
- Calcule
. - Compare
com . - Se
, calcule . - Caso contrário, calcule
. - Retorne o valor de
.
Resposta
O algoritmo para calcular
em um sistema de ponto flutuante, garantindo que o erro relativo seja da ordem do erro de representação, é o seguinte:
- Receba o valor de
. - Calcule
. - Defina um limiar
baseado no erro de representação do sistema. - Se
, então: - Calcule
.
- Calcule
- Caso contrário:
- Calcule
.
- Calcule
- Retorne o valor de
.
Esse procedimento garante que, independentemente do valor de
, o cálculo de
seja realizado com um erro relativo compatível com o erro de representação do sistema de ponto flutuante utilizado.