Seja
Descreve o algoritmo para calcular valor da função utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O objetivo é criar um algoritmo para calcular o valor dessa função usando um sistema de ponto flutuante, garantindo que o erro relativo do resultado seja da mesma ordem do erro de representação do sistema. Isso envolve entender como os números são representados em ponto flutuante e como os erros podem afetar os cálculos.

Passo 2

Vamos começar analisando a função . Quando calculamos essa função em ponto flutuante, podemos enfrentar problemas de precisão, especialmente para valores grandes de . Por exemplo, se for muito grande, pode exceder a capacidade de representação do sistema, causando overflow, ou a soma pode levar a uma perda de significância, onde os dígitos significativos são cancelados.

Passo 3

Para evitar esses problemas, podemos reescrever a função de uma forma que seja numericamente mais estável. Observe que:
Essa manipulação ajuda a evitar a perda de significância quando é grande.

Passo 4

No entanto, essa reformulação também pode levar a problemas quando é pequeno, pois pode ser muito próximo de zero, aumentando o erro relativo. Para equilibrar, podemos usar uma abordagem condicional baseada no valor de .

Passo 5

Vamos definir um limiar baseado no erro de representação do sistema de ponto flutuante. Se , usamos a forma original . Caso contrário, usamos a forma reescrita . Isso garante que o erro relativo seja controlado em ambas as situações.

Passo 6

Agora, vamos resumir o algoritmo:
  1. Calcule .
  2. Compare com .
  3. Se , calcule .
  4. Caso contrário, calcule .
  5. Retorne o valor de .

Resposta

O algoritmo para calcular em um sistema de ponto flutuante, garantindo que o erro relativo seja da ordem do erro de representação, é o seguinte:
  1. Receba o valor de .
  2. Calcule .
  3. Defina um limiar baseado no erro de representação do sistema.
  4. Se , então:
    • Calcule .
  5. Caso contrário:
    • Calcule .
  6. Retorne o valor de .
Esse procedimento garante que, independentemente do valor de , o cálculo de seja realizado com um erro relativo compatível com o erro de representação do sistema de ponto flutuante utilizado.

Exercícios relacionados

Represente 7.3 no sistema binário de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa .
Dado o sistema abaixo:
(A) Resolva o sistema utilizando o método de Gaus-Seidel até .
(B) Repita o item (A) utilizando as iterações de Jacobi.
© Repita o item (A), porém agora utilize .
Seja
Descreve o algoritmo para calcular valor da função utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
Represente 5.7 no sistema binário de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa .