Descreve o algoritmo para calcular valor da função utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O objetivo é criar um algoritmo para calcular o valor dessa função usando um sistema de ponto flutuante, garantindo que o erro relativo do resultado seja da mesma ordem do erro de representação do sistema. Isso envolve entender como os números são representados em ponto flutuante e como os erros podem afetar os cálculos.
Passo 2
Vamos começar analisando a função . Quando calculamos essa função em ponto flutuante, podemos enfrentar problemas de precisão, especialmente para valores grandes de . Por exemplo, se for muito grande, pode exceder a capacidade de representação do sistema, causando overflow, ou a soma pode levar a uma perda de significância, onde os dígitos significativos são cancelados.
Passo 3
Para evitar esses problemas, podemos reescrever a função de uma forma que seja numericamente mais estável. Observe que:
Essa manipulação ajuda a evitar a perda de significância quando é grande.
Passo 4
No entanto, essa reformulação também pode levar a problemas quando é pequeno, pois pode ser muito próximo de zero, aumentando o erro relativo. Para equilibrar, podemos usar uma abordagem condicional baseada no valor de .
Passo 5
Vamos definir um limiar baseado no erro de representação do sistema de ponto flutuante. Se , usamos a forma original . Caso contrário, usamos a forma reescrita . Isso garante que o erro relativo seja controlado em ambas as situações.
Passo 6
Agora, vamos resumir o algoritmo:
Calcule .
Compare com .
Se , calcule .
Caso contrário, calcule .
Retorne o valor de .
Resposta
O algoritmo para calcular em um sistema de ponto flutuante, garantindo que o erro relativo seja da ordem do erro de representação, é o seguinte:
Receba o valor de .
Calcule .
Defina um limiar baseado no erro de representação do sistema.
Se , então:
Calcule .
Caso contrário:
Calcule .
Retorne o valor de .
Esse procedimento garante que, independentemente do valor de , o cálculo de seja realizado com um erro relativo compatível com o erro de representação do sistema de ponto flutuante utilizado.