Um seguinte sistema de equações é criado para determinar concentrações (com os c
15 c1-3 c2-c3 & =3800 -3 c1+18 c2-6 c3 & =1200 -4 c1-c2+12 c3 & =2350
Resolva esse problema pelo método de Gauss-Seidel até varepsilons=5 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou é sobre resolver um sistema de equações lineares para encontrar as concentrações , e . A gente vai usar o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver esse tipo de sistema, até que a diferença entre as aproximações seja de no máximo 5% ( ). Para isso, precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
15 c1 - 3 c2 - c3 &= 3800 -3 c1 + 18 c2 - 6 c3 &= 1200 -4 c1 - c2 + 12 c3 &= 2350
O método de Gauss-Seidel consiste em reescrever cada equação isolando uma das variáveis e, então, usar essas fórmulas para iterar e encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos isolar cada variável:
  1. Para 15 c1 = 3800 + 3 c2 + c3 c1 = 3800 + 3 c2 + c315 :
18 c2 = 1200 + 3 c1 + 6 c3 c2 = 1200 + 3 c1 + 6 c318
  1. Para 12 c3 = 2350 + 4 c1 + c2 c3 = 2350 + 4 c1 + c212 :
  1. Para :
Agora, temos fórmulas para atualizar cada concentração usando os valores das outras variáveis.

Passo 4

Vamos escolher valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, usamos zeros ou qualquer estimativa que façamos sentido. Vou começar com:
c1^(0) = 0, c2^(0) = 0, c3^(0) = 0
Esses serão nossos valores iniciais para a primeira iteração.

Passo 5

Primeira Iteração:
  1. Calculando c1^(1) = 3800 + 3 times 0 + 015 = 380015 approx 253.33 :
c2^(1) = 1200 + 3 times 253.33 + 6 times 018 = 1200 + 76018 = 196018 approx 108.89
  1. Calculando c3^(1) = 2350 + 4 times 253.33 + 108.8912 = 2350 + 1013.32 + 108.8912 = 3472.2112 approx 289.35 :
  1. Calculando :
Agora, temos os valores , e .

Passo 6

Segunda Iteração:
  1. Calculando c1^(2) = 3800 + 3 times 108.89 + 289.3515 = 3800 + 326.67 + 289.3515 = 4416.0215 approx 294.40 :
c2^(2) = 1200 + 3 times 294.40 + 6 times 289.3518 = 1200 + 883.20 + 1736.1018 = 3819.3018 approx 212.18
  1. Calculando c3^(2) = 2350 + 4 times 294.40 + 212.1812 = 2350 + 1177.60 + 212.1812 = 3740.7812 approx 311.73 :
  1. Calculando :
Agora, vamos verificar a diferença percentual entre os valores da primeira e segunda iteração para cada concentração.

Passo 7

Verificando a Convergência:
Vamos calcular o erro relativo ( varepsilonc1 = | 294.40 - 253.33294.40 | times 100 approx 14.81% ) para cada concentração:
  1. Para varepsilonc2 = | 212.18 - 108.89212.18 | times 100 approx 48.02% :
varepsilonc3 = | 311.73 - 289.35311.73 | times 100 approx 7.33%
  1. Para :
  1. Para :
Como todos os erros são maiores que 5%, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Terceira Iteração:
  1. Calculando c1^(3) = 3800 + 3 times 212.18 + 311.7315 = 3800 + 636.54 + 311.7315 = 4748.2715 approx 316.55 :
c2^(3) = 1200 + 3 times 316.55 + 6 times 311.7318 = 1200 + 949.65 + 1870.3818 = 4020.0318 approx 223.33
  1. Calculando c3^(3) = 2350 + 4 times 316.55 + 223.3312 = 2350 + 1266.20 + 223.3312 = 3839.5312 approx 319.96 :
  1. Calculando :
Novamente, vamos verificar os erros.

Passo 9

Verificando a Convergência:
  1. Para varepsilonc1 = | 316.55 - 294.40316.55 | times 100 approx 6.96% :
varepsilonc2 = | 223.33 - 212.18223.33 | times 100 approx 5.08%
  1. Para varepsilonc3 = | 319.96 - 311.73319.96 | times 100 approx 2.56% :
  1. Para :
Agora, vemos que para e , os erros ainda estão um pouco acima de 5%, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 10

Quarta Iteração:
  1. Calculando c1^(4) = 3800 + 3 times 223.33 + 319.9615 = 3800 + 669.99 + 319.9615 = 4789.9515 approx 319.33 :
c2^(4) = 1200 + 3 times 319.33 + 6 times 319.9618 = 1200 + 957.99 + 1919.7618 = 4077.7518 approx 226.54
  1. Calculando c3^(4) = 2350 + 4 times 319.33 + 226.5412 = 2350 + 1277.32 + 226.5412 = 3853.8612 approx 320.32 :
  1. Calculando :
Vamos verificar os erros novamente.

Passo 11

Verificando a Convergência:
  1. Para varepsilonc1 = | 319.33 - 316.55319.33 | times 100 approx 0.89% :
varepsilonc2 = | 226.54 - 223.33226.54 | times 100 approx 1.41%
  1. Para varepsilonc3 = | 320.32 - 319.96320.32 | times 100 approx 0.10% :
  1. Para :
Agora, todos os erros estão abaixo de 5%, então podemos parar as iterações.

Resposta

As concentrações encontradas pelo método de Gauss-Seidel até uma tolerância de 5% são:
c1 approx 319.33, c2 approx 226.54, c3 approx 320.32

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