Um seguinte sistema de equações é criado para determinar concentrações (com os c
Resolva esse problema pelo método de Gauss-Seidel até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou é sobre resolver um sistema de equações lineares para encontrar as concentrações , e . A gente vai usar o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver esse tipo de sistema, até que a diferença entre as aproximações seja de no máximo 5% ( ). Para isso, precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
O método de Gauss-Seidel consiste em reescrever cada equação isolando uma das variáveis e, então, usar essas fórmulas para iterar e encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos isolar cada variável:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, temos fórmulas para atualizar cada concentração usando os valores das outras variáveis.

Passo 4

Vamos escolher valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, usamos zeros ou qualquer estimativa que façamos sentido. Vou começar com:
Esses serão nossos valores iniciais para a primeira iteração.

Passo 5

Primeira Iteração:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Agora, temos os valores , e .

Passo 6

Segunda Iteração:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Agora, vamos verificar a diferença percentual entre os valores da primeira e segunda iteração para cada concentração.

Passo 7

Verificando a Convergência:
Vamos calcular o erro relativo ( ) para cada concentração:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Como todos os erros são maiores que 5%, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Terceira Iteração:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Novamente, vamos verificar os erros.

Passo 9

Verificando a Convergência:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, vemos que para e , os erros ainda estão um pouco acima de 5%, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 10

Quarta Iteração:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Vamos verificar os erros novamente.

Passo 11

Verificando a Convergência:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, todos os erros estão abaixo de 5%, então podemos parar as iterações.

Resposta

As concentrações encontradas pelo método de Gauss-Seidel até uma tolerância de 5% são:

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Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU com pivotamento parcial:
Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que .
Dado o sistema abaixo:
(A) Resolva o sistema utilizando o método de Gaus-Seidel até .
(B) Repita o item (A) utilizando as iterações de Jacobi.
© Repita o item (A), porém agora utilize .
Represente 7.3 no sistema binário de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa .