Um seguinte sistema de equações é criado para determinar concentrações (com os c
Resolva esse problema pelo método de Gauss-Seidel até .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou é sobre resolver um sistema de equações lineares para encontrar as concentrações , e . A gente vai usar o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver esse tipo de sistema, até que a diferença entre as aproximações seja de no máximo 5% (). Para isso, precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
O método de Gauss-Seidel consiste em reescrever cada equação isolando uma das variáveis e, então, usar essas fórmulas para iterar e encontrar os valores de , e .
Passo 3
Vamos isolar cada variável:
Para :
Para :
Para :
Agora, temos fórmulas para atualizar cada concentração usando os valores das outras variáveis.
Passo 4
Vamos escolher valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, usamos zeros ou qualquer estimativa que façamos sentido. Vou começar com:
Esses serão nossos valores iniciais para a primeira iteração.
Passo 5
Primeira Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Agora, temos os valores , e .
Passo 6
Segunda Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Agora, vamos verificar a diferença percentual entre os valores da primeira e segunda iteração para cada concentração.
Passo 7
Verificando a Convergência:
Vamos calcular o erro relativo () para cada concentração:
Para :
Para :
Para :
Como todos os erros são maiores que 5%, precisamos continuar iterando.
Passo 8
Terceira Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Novamente, vamos verificar os erros.
Passo 9
Verificando a Convergência:
Para :
Para :
Para :
Agora, vemos que para e , os erros ainda estão um pouco acima de 5%, então precisamos de mais uma iteração.
Passo 10
Quarta Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Vamos verificar os erros novamente.
Passo 11
Verificando a Convergência:
Para :
Para :
Para :
Agora, todos os erros estão abaixo de 5%, então podemos parar as iterações.
Resposta
As concentrações encontradas pelo método de Gauss-Seidel até uma tolerância de 5% são: