(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e precisa usar o critério de Sassenfeld para descobrir para quais valores positivos de esse critério é satisfeito. Basicamente, o critério de Sassenfeld é uma condição que ajuda a garantir a convergência de métodos iterativos, como o de Gauss-Seidel, para resolver sistemas lineares. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações (fazendo trocas de linhas, se necessário) e aplicar o critério para encontrar o intervalo de valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
Percebemos que a primeira equação já nos dá , então podemos focar nas outras duas equações que envolvem e .
Agora, vamos reorganizar as equações para destacar os coeficientes de e :
Podemos analisar isso como um sistema , onde:
Para aplicar o critério de Sassenfeld, precisamos calcular os chamados “coeficientes de Sassenfeld”, que dependem dos elementos da matriz . O critério nos diz que se a matriz for estritamente diagonal dominante ou se os coeficientes de Sassenfeld forem menores que 1, então o método de Gauss-Seidel convergirá.
Vamos calcular os coeficientes de Sassenfeld para nosso sistema. Para isso, precisamos que a matriz não tenha zeros na diagonal principal, pois o critério exige isso. Observando a matriz , temos os elementos da diagonal:
Ambos são diferentes de zero, então podemos proceder.
Os coeficientes de Sassenfeld são calculados da seguinte forma:
Para que o critério de Sassenfeld seja satisfeito, todos os devem ser menores que 1:
ãé
No entanto, vemos que não satisfaz a condição . Portanto, precisamos ver se podemos rearranjar as linhas para tornar todos os menores que 1.
Vamos trocar a primeira e a segunda equações:
Agora, a matriz fica:
Calculando novamente os coeficientes de Sassenfeld:
Queremos que ambos sejam menores que 1:
ã
Mesmo após a troca, ainda temos um coeficiente igual a 1, o que não atende ao critério. Portanto, não existe um intervalo de valores positivos para que satisfaça o critério de Sassenfeld neste sistema específico.
Resposta
Não existe um intervalo de valores positivos para que satisfaça o critério de Sassenfeld para o sistema dado.