pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear dado utilizando o método de Eliminação de Gauss. Esse método faz parte da Matemática Linear e nos ajuda a encontrar as soluções de sistemas de equações através de operações elementares nas equações. Precisaremos reorganizar as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Eliminação sem pivoteamento:
Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3.
Para eliminar da segunda equação, podemos multiplicar a primeira equação por e somar com a segunda:
Para eliminar da terceira equação, multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por e somamos com a terceira:
Após essa operação, a matriz fica:
Passo 5
Com a matriz triangularizada, podemos resolver agora de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:
Em seguida, da segunda equação:
Por fim, da primeira equação:
Passo 6
Eliminação com pivoteamento parcial:
O pivoteamento parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando linhas para que o maior elemento absoluto na coluna atual esteja na posição de pivô.
Observando a primeira coluna, o maior valor absoluto é 5 (linha 1), então não precisamos trocar.
Repetimos o processo de eliminação como antes.
Ao eliminar e depois , seguimos os mesmos passos, garantindo maior precisão nos cálculos.
Após realizar as operações, obteremos a mesma solução:
Resposta
A solução do sistema linear pelo método de Eliminação de Gauss, tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial, é: