Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear dado utilizando o método de Eliminação de Gauss. Esse método faz parte da Matemática Linear e nos ajuda a encontrar as soluções de sistemas de equações através de operações elementares nas equações. Precisaremos reorganizar as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Eliminação sem pivoteamento:
Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3.
  • Para eliminar da segunda equação, podemos multiplicar a primeira equação por e somar com a segunda:
  • Para eliminar da terceira equação, multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por e somamos com a terceira:
Após essa operação, a matriz fica:

Passo 5

Com a matriz triangularizada, podemos resolver agora de baixo para cima.
  • Primeiro, da terceira equação:
  • Em seguida, da segunda equação:
  • Por fim, da primeira equação:

Passo 6

Eliminação com pivoteamento parcial:
O pivoteamento parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando linhas para que o maior elemento absoluto na coluna atual esteja na posição de pivô.
  • Observando a primeira coluna, o maior valor absoluto é 5 (linha 1), então não precisamos trocar.
  • Repetimos o processo de eliminação como antes.
  • Ao eliminar e depois , seguimos os mesmos passos, garantindo maior precisão nos cálculos.
Após realizar as operações, obteremos a mesma solução:

Resposta

A solução do sistema linear pelo método de Eliminação de Gauss, tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial, é:

Exercícios relacionados

Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).
Seja e . Se , encontre com , usando:
o MPF , verifique as condições de convergência.
Dado o sistema de equações lineares:
(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente o erros cometidos do item (ii).
Dado o sistema de equações lineares:
(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Tome , faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com .