Resolver o sistema linear
c 5 x1+2 x2+x3=-12 -x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+10 x3=3
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição L U, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com epsilon=0,1, usando x^0=(0,9 ; 1,1 ; 1,2)^t, se as condições de convergência forem satisfeitas.

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear dado utilizando o método de Eliminação de Gauss. Esse método faz parte da Matemática Linear e nos ajuda a encontrar as soluções de sistemas de equações através de operações elementares nas equações. Precisaremos reorganizar as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
5 & 2 & 1 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3

Passo 3

Eliminação sem pivoteamento:
Vamos começar eliminando o E2 = E2 + ( 15 times E1 ) das equações 2 e 3.
  • Para eliminar E3 = E3 + ( -25 times E1 ) da segunda equação, podemos multiplicar a primeira equação por 5 & 2 & 1 & | & -12 0 & 225 & 75 & | & 885 0 & -145 & 485 & | & 39.65 e somar com a segunda:
  • Para eliminar da terceira equação, multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar E3 = E3 + ( 1422 times E2 ) da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por 5 & 2 & 1 & | & -12 0 & 225 & 75 & | & 885 0 & 0 & 6311 & | & 1176110 e somamos com a terceira:
Após essa operação, a matriz fica:

Passo 5

Com a matriz triangularizada, podemos resolver agora de baixo para cima.
  • Primeiro, da terceira equação:
6311 x3 = 1176110 x3 = 1176110 times 1163 = 1176 times 11110 times 63 = 129366930 = 1.87
  • Em seguida, da segunda equação:
225 x2 + 75 times 1.87 = 885 225 x2 = 885 - 13.095 = 74.915 x2 = 74.915 times 522 = 74.9122 = 3.41
  • Por fim, da primeira equação:
5 x1 + 2 times 3.41 + 1.87 = -12 5 x1 + 6.82 + 1.87 = -12 5 x1 = -12 - 6.82 - 1.87 = -20.69 x1 = -20.695 = -4.14

Passo 6

Eliminação com pivoteamento parcial:
O pivoteamento parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando linhas para que o maior elemento absoluto na coluna atual esteja na posição de pivô.
  • Observando a primeira coluna, o maior valor absoluto é 5 (linha 1), então não precisamos trocar.
  • Repetimos o processo de eliminação como antes.
  • Ao eliminar x1 = -4.14, x2 = 3.41, x3 = 1.87 e depois , seguimos os mesmos passos, garantindo maior precisão nos cálculos.
Após realizar as operações, obteremos a mesma solução:

Resposta

A solução do sistema linear pelo método de Eliminação de Gauss, tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial, é:
x1 = -4.14, x2 = 3.41, x3 = 1.87

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