Resolver o sistema linear
c x1-2 x2+x3=0 2 x1-2 x2+x3=2 3 x1-2 x2-2 x3=-1
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição L U, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com epsilon=0,1, usando x^0=(0,9 ; 1,1 ; 1,2)^t, se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da Eliminação de Gauss. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar manipular as equações para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial para facilitar a visualização:
x1 - 2x2 + x3 = 0 2x1 - 2x2 + x3 = 2 3x1 - 2x2 - 2x3 = -1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz aumentada em uma forma triangular, ou seja, deixar os coeficientes abaixo da diagonal principal iguais a zero. Vamos começar sem usar pivoteamento para ver como funciona o método básico.
A matriz aumentada fica assim:
1 & -2 & 1 & | & 0 2 & -2 & 1 & | & 2 3 & -2 & -2 & | & -1

Passo 4

Eliminação da segunda linha:
Queremos zerar o L2 = L2 - 2 times L1 que está na posição 2 - 2 times 1 = 0 -2 - 2 times (-2) = -2 + 4 = 2 1 - 2 times 1 = 1 - 2 = -1 2 - 2 times 0 = 2 . Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha.
0 & 2 & -1 & | & 2
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Eliminação da terceira linha:
Queremos zerar o L3 = L3 - 3 times L1 na posição 3 - 3 times 1 = 0 -2 - 3 times (-2) = -2 + 6 = 4 -2 - 3 times 1 = -2 - 3 = -5 -1 - 3 times 0 = -1 . Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha.
0 & 4 & -5 & | & -1
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Agora, nossa matriz fica assim:
1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 2 & -1 & | & 2 0 & 4 & -5 & | & -1
Vamos continuar eliminando para deixar a matriz triangular.

Passo 7

Eliminação da terceira linha usando a segunda linha:
Queremos zerar o L3 = L3 - 2 times L2 na posição 0 - 2 times 0 = 0 4 - 2 times 2 = 4 - 4 = 0 -5 - 2 times (-1) = -5 + 2 = -3 -1 - 2 times 2 = -1 - 4 = -5 . Vamos multiplicar a segunda linha por 2 e subtrair da terceira linha.
0 & 0 & -3 & | & -5
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 8

Agora, nossa matriz triangular é:
1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 2 & -1 & | & 2 0 & 0 & -3 & | & -5

Passo 9

Resolvendo a partir da última equação:
Da terceira linha:
-3x3 = -5 implies x3 = 53

Passo 10

Substituindo 2x2 - x3 = 2 2x2 - 53 = 2 2x2 = 2 + 53 = 113 x2 = 116 na segunda equação:
Da segunda linha:

Passo 11

Substituindo x1 - 2x2 + x3 = 0 x1 - 2 times 116 + 53 = 0 x1 - 113 + 53 = 0 x1 - 2 = 0 implies x1 = 2 e na primeira equação:
Da primeira linha:

Passo 12

Agora, vamos refazer o processo usando estratégia de pivoteamento parcial para ver como isso influencia na resolução.

Passo 13

Pivoteamento parcial:
Antes de começarmos a eliminar, vamos verificar qual linha tem o maior valor absoluto no primeiro coluna para evitar erros numéricos. No nosso caso, as primeiras entradas são 1, 2 e 3. O maior valor absoluto é 3, na terceira linha. Então, vamos trocar a primeira linha pela terceira.
Nova matriz aumentada:
3 & -2 & -2 & | & -1 2 & -2 & 1 & | & 2 1 & -2 & 1 & | & 0

Passo 14

Eliminando abaixo do pivô (3 na posição (1,1)):
Primeiro, vamos eliminar o 2 na posição L2 = L2 - (23) times L1 :
2 - 23 times 3 = 2 - 2 = 0 -2 - 23 times (-2) = -2 + 43 = -23 1 - 23 times (-2) = 1 + 43 = 73 2 - 23 times (-1) = 2 + 23 = 83
Calculando:
0 & -23 & 73 & | & 83
Então, a segunda linha fica:

Passo 15

Agora, eliminamos o 1 na posição L3 = L3 - (13) times L1 :
1 - 13 times 3 = 1 - 1 = 0 -2 - 13 times (-2) = -2 + 23 = -43 1 - 13 times (-2) = 1 + 23 = 53 0 - 13 times (-1) = 0 + 13 = 13
Calculando:
0 & -43 & 53 & | & 13
Então, a terceira linha fica:

Passo 16

Nossa matriz agora é:
3 & -2 & -2 & | & -1 0 & -23 & 73 & | & 83 0 & -43 & 53 & | & 13
Vamos continuar eliminando para triangular.

Passo 17

Eliminando o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira linha para eliminar o L3 = L3 + 2 times L2 :
0 + 2 times 0 = 0 -43 + 2 times (-23) = -43 - 43 = -83 53 + 2 times 73 = 53 + 143 = 193 13 + 2 times 83 = 13 + 163 = 173
Calculando:
L2 = L2-23 = L2 times (-32)
No entanto, percebemos que houve um equívoco na operação. A estratégia correta é encontrar um múltiplo que zere o elemento. Vamos recalcular:
Na verdade, para eliminar, usamos a relação entre as linhas. Para simplificar, dividimos a segunda linha por 0 times (-32) = 0 -23 times (-32) = 1 73 times (-32) = -72 83 times (-32) = -4 :
0 & 1 & -72 & | & -4
Calculando:
L3 = L3 + 43 times L2
Então, a segunda linha fica:
0 + 43 times 0 = 0 -43 + 43 times 1 = -43 + 43 = 0 53 + 43 times (-72) = 53 - 143 = -3 13 + 43 times (-4) = 13 - 163 = -5
Agora, usamos essa nova segunda linha para eliminar o elemento 0 & 0 & -3 & | & -5 na terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 18

Nossa matriz triangular com pivoteamento parcial é:
3 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -72 & | & -4 0 & 0 & -3 & | & -5

Passo 19

Resolvendo a partir da última equação:
Da terceira linha:
-3x3 = -5 implies x3 = 53

Passo 20

Substituindo x2 - 72x3 = -4 x2 - 72 times 53 = -4 x2 - 356 = -4 x2 = -4 + 356 = 116 na segunda equação:
Da segunda linha:

Passo 21

Substituindo 3x1 - 2x2 - 2x3 = -1 3x1 - 2 times 116 - 2 times 53 = -1 3x1 - 113 - 103 = -1 3x1 - 213 = -1 3x1 - 7 = -1 3x1 = 6 implies x1 = 2 e na primeira equação:
Da primeira linha:

Resposta

Mesmo usando o pivoteamento parcial, chegamos à mesma solução:
x1 = 2, x2 = 116, x3 = 53

Conclusão

Viu só? A Eliminação de Gauss pode ser feita de duas maneiras: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. No nosso caso, ambas levaram à mesma solução, mas o pivoteamento ajuda a evitar possíveis erros numéricos, especialmente em sistemas maiores ou mais complicados.

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