pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da Eliminação de Gauss. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar manipular as equações para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial para facilitar a visualização:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz aumentada em uma forma triangular, ou seja, deixar os coeficientes abaixo da diagonal principal iguais a zero. Vamos começar sem usar pivoteamento para ver como funciona o método básico.
A matriz aumentada fica assim:
Passo 4
Eliminação da segunda linha:
Queremos zerar o que está na posição . Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha.
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 5
Eliminação da terceira linha:
Queremos zerar o na posição . Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha.
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 6
Agora, nossa matriz fica assim:
Vamos continuar eliminando para deixar a matriz triangular.
Passo 7
Eliminação da terceira linha usando a segunda linha:
Queremos zerar o na posição . Vamos multiplicar a segunda linha por 2 e subtrair da terceira linha.
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 8
Agora, nossa matriz triangular é:
Passo 9
Resolvendo a partir da última equação:
Da terceira linha:
Passo 10
Substituindo na segunda equação:
Da segunda linha:
Passo 11
Substituindo e na primeira equação:
Da primeira linha:
Passo 12
Agora, vamos refazer o processo usando estratégia de pivoteamento parcial para ver como isso influencia na resolução.
Passo 13
Pivoteamento parcial:
Antes de começarmos a eliminar, vamos verificar qual linha tem o maior valor absoluto no primeiro coluna para evitar erros numéricos. No nosso caso, as primeiras entradas são 1, 2 e 3. O maior valor absoluto é 3, na terceira linha. Então, vamos trocar a primeira linha pela terceira.
Nova matriz aumentada:
Passo 14
Eliminando abaixo do pivô (3 na posição (1,1)):
Primeiro, vamos eliminar o 2 na posição :
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 15
Agora, eliminamos o 1 na posição :
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 16
Nossa matriz agora é:
Vamos continuar eliminando para triangular.
Passo 17
Eliminando o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira linha para eliminar o :
Calculando:
No entanto, percebemos que houve um equívoco na operação. A estratégia correta é encontrar um múltiplo que zere o elemento. Vamos recalcular:
Na verdade, para eliminar, usamos a relação entre as linhas. Para simplificar, dividimos a segunda linha por :
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Agora, usamos essa nova segunda linha para eliminar o elemento na terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 18
Nossa matriz triangular com pivoteamento parcial é:
Passo 19
Resolvendo a partir da última equação:
Da terceira linha:
Passo 20
Substituindo na segunda equação:
Da segunda linha:
Passo 21
Substituindo e na primeira equação:
Da primeira linha:
Resposta
Mesmo usando o pivoteamento parcial, chegamos à mesma solução:
Conclusão
Viu só? A Eliminação de Gauss pode ser feita de duas maneiras: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. No nosso caso, ambas levaram à mesma solução, mas o pivoteamento ajuda a evitar possíveis erros numéricos, especialmente em sistemas maiores ou mais complicados.