Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da Eliminação de Gauss. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar manipular as equações para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial para facilitar a visualização:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz aumentada em uma forma triangular, ou seja, deixar os coeficientes abaixo da diagonal principal iguais a zero. Vamos começar sem usar pivoteamento para ver como funciona o método básico.
A matriz aumentada fica assim:

Passo 4

Eliminação da segunda linha:
Queremos zerar o que está na posição . Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha.
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Eliminação da terceira linha:
Queremos zerar o na posição . Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha.
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Agora, nossa matriz fica assim:
Vamos continuar eliminando para deixar a matriz triangular.

Passo 7

Eliminação da terceira linha usando a segunda linha:
Queremos zerar o na posição . Vamos multiplicar a segunda linha por 2 e subtrair da terceira linha.
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 8

Agora, nossa matriz triangular é:

Passo 9

Resolvendo a partir da última equação:
Da terceira linha:

Passo 10

Substituindo na segunda equação:
Da segunda linha:

Passo 11

Substituindo e na primeira equação:
Da primeira linha:

Passo 12

Agora, vamos refazer o processo usando estratégia de pivoteamento parcial para ver como isso influencia na resolução.

Passo 13

Pivoteamento parcial:
Antes de começarmos a eliminar, vamos verificar qual linha tem o maior valor absoluto no primeiro coluna para evitar erros numéricos. No nosso caso, as primeiras entradas são 1, 2 e 3. O maior valor absoluto é 3, na terceira linha. Então, vamos trocar a primeira linha pela terceira.
Nova matriz aumentada:

Passo 14

Eliminando abaixo do pivô (3 na posição (1,1)):
Primeiro, vamos eliminar o 2 na posição :
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 15

Agora, eliminamos o 1 na posição :
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 16

Nossa matriz agora é:
Vamos continuar eliminando para triangular.

Passo 17

Eliminando o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira linha para eliminar o :
Calculando:
No entanto, percebemos que houve um equívoco na operação. A estratégia correta é encontrar um múltiplo que zere o elemento. Vamos recalcular:
Na verdade, para eliminar, usamos a relação entre as linhas. Para simplificar, dividimos a segunda linha por :
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Agora, usamos essa nova segunda linha para eliminar o elemento na terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 18

Nossa matriz triangular com pivoteamento parcial é:

Passo 19

Resolvendo a partir da última equação:
Da terceira linha:

Passo 20

Substituindo na segunda equação:
Da segunda linha:

Passo 21

Substituindo e na primeira equação:
Da primeira linha:

Resposta

Mesmo usando o pivoteamento parcial, chegamos à mesma solução:

Conclusão

Viu só? A Eliminação de Gauss pode ser feita de duas maneiras: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. No nosso caso, ambas levaram à mesma solução, mas o pivoteamento ajuda a evitar possíveis erros numéricos, especialmente em sistemas maiores ou mais complicados.

Exercícios relacionados

Seja e . Se , encontre com , usando:
o MPF , verifique as condições de convergência.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.
Dado o sistema de equações lineares:
(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente o erros cometidos do item (ii).