Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de a o sistema linear não tem solução.
(i) cx1-x2+x3=2 x1+2 x2+a x3=-1 2 x1+3 x2+a x3=a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica da álgebra linear para resolver sistemas lineares. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de o sistema não tem solução. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificar até identificar se há alguma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização e o uso das operações de linha.
1 & -1 & 1 & | & 2 1 & 2 & a & | & -1 2 & 3 & a & | & a

Passo 3

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira linha e primeira coluna). Para isso:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
    1 & -1 & 1 & | & 2 0 & 3 & a-1 & | & -3 0 & 5 & a-2 & | & a-4
  • Subtraímos duas vezes a primeira linha da terceira linha:
Vamos fazer essas operações:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (o 3 na segunda linha e segunda coluna). Para isso, precisamos ajustar as linhas para que o coeficiente da terceira linha na segunda coluna seja zero.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por 5 e a terceira linha por 3 para igualar os coeficientes da segunda coluna:
5R2: 0 15 5(a-1) | -15 3R3: 0 15 3(a-2) | 3(a-4)
Agora, subtraímos a segunda nova linha da terceira nova linha:
R3 = 3R3 - 5R2
Isso resulta em:
0 0 3(a-2) - 5(a-1) | 3(a-4) - (-15)
Simplificando:
0 0 3a - 6 - 5a + 5 | 3a - 12 + 15
0 0 -2a -1 | 3a + 3

Passo 5

Agora, observamos a última linha da matriz:
0 0 -2a -1 | 3a + 3
Para que o sistema não tenha solução, essa linha deve representar uma contradição, ou seja, uma equação impossível como -2a -1 = 3a + 3 algum número diferente de zero.
Então, temos:
-2a - 1 = 3a + 3 -2a - 3a = 3 + 1 -5a = 4 a = -45
Vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

O sistema linear não tem solução quando .

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