Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de o sistema linear não tem solução.
(ii)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas ( , , ) e um parâmetro . A questão é determinar para quais valores de esse sistema não tem solução.
Para resolver isso, vamos usar a eliminação de Gauss, um método que simplifica o sistema de equações para facilitar a identificação de soluções ou inconsistências.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das incógnitas e os termos constantes. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para a direita) temos zeros.
Começamos subtraindo a primeira linha das segunda e terceira linhas para eliminar o primeiro coeficiente das linhas abaixo.
Subtraindo a primeira linha da segunda linha:
Ficando:
Subtraindo a primeira linha da terceira linha:
Ficando:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda e terceira linhas para continuar a eliminação. Nosso objetivo é eliminar o coeficiente na terceira linha.
Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por :
Subtraindo esse resultado da terceira linha:
Ficando:
Portanto, a terceira linha agora é:

Passo 5

Agora, vamos analisar a terceira linha resultante:
Para que o sistema não tenha solução, essa equação precisa ser inconsistente, ou seja, levar a uma afirmação impossível, como , onde é um número diferente de zero.
Isso ocorre quando o coeficiente de é zero, mas o lado direito não é zero. Ou seja:
Resolvendo a primeira parte:
Agora, verificamos a segunda condição :
  • Para : → Não satisfaz, então excluímos .
  • Para : → Satisfaz.

Resposta

O sistema linear não tem solução quando .

Exercícios relacionados

Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de o sistema linear não tem solução.
(i)
Resolver o sistema linear
pelos métodos:
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.
Dado o sistema de equações lineares:
(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
Dado o sistema de equações lineares:
(ii) Tome , faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com .