Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de o sistema linear não tem solução.
(ii)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas (x1, x2, x3) e um parâmetro a. A questão é determinar para quais valores de a esse sistema não tem solução.
Para resolver isso, vamos usar a eliminação de Gauss, um método que simplifica o sistema de equações para facilitar a identificação de soluções ou inconsistências.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das incógnitas e os termos constantes. A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 1 & | & 1 1 & 1 & a & | & 1 1 & a & 1 & | & a
Passo 3
O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para a direita) temos zeros.
Começamos subtraindo a primeira linha das segunda e terceira linhas para eliminar o primeiro coeficiente das linhas abaixo.
Agora, vamos focar na segunda e terceira linhas para continuar a eliminação. Nosso objetivo é eliminar o coeficiente a + 1 na terceira linha.
Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por (a + 1)2 e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por (a + 1)2:
0 (a + 1) (a + 1)(a - 1)2 | 0
Subtraindo esse resultado da terceira linha:
0 - 0 (a + 1) - (a + 1) 0 - (a + 1)(a - 1)2 | (a - 1) - 0
Ficando:
0 0 -(a + 1)(a - 1)2 | (a - 1)
Portanto, a terceira linha agora é:
0 0 -(a^2 - 1)2 | (a - 1)
Passo 5
Agora, vamos analisar a terceira linha resultante:
-(a^2 - 1)2x3 = (a - 1)
Para que o sistema não tenha solução, essa equação precisa ser inconsistente, ou seja, levar a uma afirmação impossível, como 0 = c, onde c é um número diferente de zero.
Isso ocorre quando o coeficiente de x3 é zero, mas o lado direito não é zero. Ou seja:
-(a^2 - 1)2 = 0 e (a - 1) neq 0
Resolvendo a primeira parte:
a^2 - 1 = 0 implies a^2 = 1 implies a = pm 1
Agora, verificamos a segunda condição (a - 1) neq 0:
Para a = 1: (1 - 1) = 0 → Não satisfaz, então excluímos a = 1.