Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de o sistema linear não tem solução.
(ii)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas (, , ) e um parâmetro . A questão é determinar para quais valores de esse sistema não tem solução.
Para resolver isso, vamos usar a eliminação de Gauss, um método que simplifica o sistema de equações para facilitar a identificação de soluções ou inconsistências.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das incógnitas e os termos constantes. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para a direita) temos zeros.
Começamos subtraindo a primeira linha das segunda e terceira linhas para eliminar o primeiro coeficiente das linhas abaixo.
Subtraindo a primeira linha da segunda linha:
Ficando:
Subtraindo a primeira linha da terceira linha:
Ficando:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda e terceira linhas para continuar a eliminação. Nosso objetivo é eliminar o coeficiente na terceira linha.
Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por :
Subtraindo esse resultado da terceira linha:
Ficando:
Portanto, a terceira linha agora é:
Passo 5
Agora, vamos analisar a terceira linha resultante:
Para que o sistema não tenha solução, essa equação precisa ser inconsistente, ou seja, levar a uma afirmação impossível, como , onde é um número diferente de zero.
Isso ocorre quando o coeficiente de é zero, mas o lado direito não é zero. Ou seja: