Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Precisamos:
(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
(B) Usar a Regra de Cramer para encontrar os valores de ,
e
.
© Utilizar a eliminação de Gauss com pivotamento parcial para resolver o sistema.
(D) Substituir os valores encontrados nas equações originais para verificar as respostas.
(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
(B) Usar a Regra de Cramer para encontrar os valores de
© Utilizar a eliminação de Gauss com pivotamento parcial para resolver o sistema.
(D) Substituir os valores encontrados nas equações originais para verificar as respostas.
Para isso, vamos precisar entender determinantes, a Regra de Cramer e a eliminação de Gauss.
Passo 2
(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos calcular o determinante de
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , denotado por
A = a & b & c d & e & f g & h & i . Para uma matriz
a = 0, b = -3, c = 7, d = 1, e = 2, f = -1, g = 5, h = -2, i = 0 , o determinante é calculado assim:
Onde:
Aplicando isso à nossa matriz:
Então,
Calculando passo a passo:
Passo 3
(B) Usar a Regra de Cramer para determinar os
b = 2 3 2 ,
Ax1 = 2 & -3 & 7 3 & 2 & -1 2 & -2 & 0 e
det(Ax1) = 2(2 cdot 0 - (-1) cdot (-2)) - (-3)(3 cdot 0 - (-1) cdot 2) + 7(3 cdot (-2) - 2 cdot 2) .
A Regra de Cramer é usada para resolver sistemas lineares usando determinantes. Para cada variável
det(Ax1) = 2(0 - 2) + 3(0 + 2) + 7(-6 - 4) , substituímos a coluna correspondente na matriz dos coeficientes pela coluna dos termos constantes e calculamos o determinante dessa nova matriz.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos termos constantes:
Agora, vamos calcular
det(Ax1) = -4 + 6 - 70 ,
det(Ax1) = -68 e
x1 = det(Ax1)det(A) = -68-69 = 6869 approx 0,9855 :
Para
Ax2 = 0 & 2 & 7 1 & 3 & -1 5 & 2 & 0 :
Substituímos a primeira coluna de
det(Ax2) = 0(3 cdot 0 - (-1) cdot 2) - 2(1 cdot 0 - (-1) cdot 5) + 7(1 cdot 2 - 3 cdot 5) por
det(Ax2) = 0(0 + 2) - 2(0 + 5) + 7(2 - 15) :
Calculamos
det(Ax2) = -10 - 91 :
Então,
Para
det(Ax3) = -39 - 24 :
Substituímos a segunda coluna de
det(Ax3) = -63 por
x3 = det(Ax3)det(A) = -63-69 = 6369 approx 0,9130 :
Calculamos
:
Então,
Para
:
Substituímos a terceira coluna de
por
:
Calculamos
:
Então,
Passo 4
© Usar eliminação de Gauss com pivotamento parcial para determinar os
0 & -3 & 7 & | & 2 1 & 2 & -1 & | & 3 5 & -2 & 0 & | & 2 .
A eliminação de Gauss envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior e, em seguida, resolver por substituição. O pivotamento parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica escolhendo o maior elemento possível como pivô.
Vamos representar o sistema na forma aumentada:
Passo 1: Escolher o pivô da primeira coluna.
O maior valor absoluto na primeira coluna é 5 (na terceira linha). Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:
Passo 2: Eliminar abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira coluna).
Para zerar o elemento abaixo do pivô na segunda linha:
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha, já está zero.
Passo 3: Escolher o pivô da segunda coluna.
O maior valor absoluto na segunda coluna (a partir da segunda linha) é 3. Então, trocamos a segunda e a terceira linhas:
Passo 4: Eliminar abaixo do pivô na segunda coluna.
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha:
Passo 5: Resolver por substituição.
A partir da terceira linha:
Substituindo
-3 x2 + 5,75 = 2 na segunda linha:
Substituindo
5 x1 = 4,5 Rightarrow x1 = 4,55 = 0,9 e
na primeira linha:
Passo 5
(D) Substituir os resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Vamos verificar os valores encontrados:
Para
-3(1,25) + 7(0,8214) = -3,75 + 5,75 = 2 (Correto) :
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Para
0,9855 + 2(1,4623) - 0,9130 approx 0,9855 + 2,9246 - 0,9130 = 3,0 (Correto) ,
5(0,9855) - 2(1,4623) approx 4,9275 - 2,9246 = 2,0029 approx 2 (Correto) e
obtidos pela Regra de Cramer:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Resposta
Utilizando a Regra de Cramer, as soluções do sistema são aproximadamente:
E utilizando a eliminação de Gauss com pivotamento parcial, as soluções são:
A verificação nas equações originais confirma que os valores obtidos pela Regra de Cramer estão corretos.