Para isso, vamos precisar entender determinantes, a Regra de Cramer e a eliminação de Gauss.
Passo 2
(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos calcular o determinante de , denotado por . Para uma matriz , o determinante é calculado assim:
Onde:
Aplicando isso à nossa matriz:
Então,
Calculando passo a passo:
Passo 3
(B) Usar a Regra de Cramer para determinar os , e .
A Regra de Cramer é usada para resolver sistemas lineares usando determinantes. Para cada variável , substituímos a coluna correspondente na matriz dos coeficientes pela coluna dos termos constantes e calculamos o determinante dessa nova matriz.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos termos constantes:
A eliminação de Gauss envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior e, em seguida, resolver por substituição. O pivotamento parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica escolhendo o maior elemento possível como pivô.
Vamos representar o sistema na forma aumentada:
Passo 1: Escolher o pivô da primeira coluna.
O maior valor absoluto na primeira coluna é 5 (na terceira linha). Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:
Passo 2: Eliminar abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira coluna).
Para zerar o elemento abaixo do pivô na segunda linha:
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha, já está zero.
Passo 3: Escolher o pivô da segunda coluna.
O maior valor absoluto na segunda coluna (a partir da segunda linha) é 3. Então, trocamos a segunda e a terceira linhas:
Passo 4: Eliminar abaixo do pivô na segunda coluna.
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha:
Passo 5: Resolver por substituição.
A partir da terceira linha:
Substituindo na segunda linha:
Substituindo e na primeira linha:
Passo 5
(D) Substituir os resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Vamos verificar os valores encontrados:
çã
çã
çã
Para :
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Para , e obtidos pela Regra de Cramer:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Resposta
Utilizando a Regra de Cramer, as soluções do sistema são aproximadamente:
E utilizando a eliminação de Gauss com pivotamento parcial, as soluções são:
A verificação nas equações originais confirma que os valores obtidos pela Regra de Cramer estão corretos.