Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Precisamos:
(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
(B) Usar a Regra de Cramer para encontrar os valores de , e .
© Utilizar a eliminação de Gauss com pivotamento parcial para resolver o sistema.
(D) Substituir os valores encontrados nas equações originais para verificar as respostas.
Para isso, vamos precisar entender determinantes, a Regra de Cramer e a eliminação de Gauss.

Passo 2

(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos calcular o determinante de , denotado por . Para uma matriz , o determinante é calculado assim:
Onde:
Aplicando isso à nossa matriz:
Então,
Calculando passo a passo:

Passo 3

(B) Usar a Regra de Cramer para determinar os , e .
A Regra de Cramer é usada para resolver sistemas lineares usando determinantes. Para cada variável , substituímos a coluna correspondente na matriz dos coeficientes pela coluna dos termos constantes e calculamos o determinante dessa nova matriz.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos termos constantes:
Agora, vamos calcular , e :
Para :
Substituímos a primeira coluna de por :
Calculamos :
Então,
Para :
Substituímos a segunda coluna de por :
Calculamos :
Então,
Para :
Substituímos a terceira coluna de por :
Calculamos :
Então,

Passo 4

© Usar eliminação de Gauss com pivotamento parcial para determinar os .
A eliminação de Gauss envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior e, em seguida, resolver por substituição. O pivotamento parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica escolhendo o maior elemento possível como pivô.
Vamos representar o sistema na forma aumentada:
Passo 1: Escolher o pivô da primeira coluna.
O maior valor absoluto na primeira coluna é 5 (na terceira linha). Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:
Passo 2: Eliminar abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira coluna).
Para zerar o elemento abaixo do pivô na segunda linha:
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha, já está zero.
Passo 3: Escolher o pivô da segunda coluna.
O maior valor absoluto na segunda coluna (a partir da segunda linha) é 3. Então, trocamos a segunda e a terceira linhas:
Passo 4: Eliminar abaixo do pivô na segunda coluna.
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha:
Passo 5: Resolver por substituição.
A partir da terceira linha:
Substituindo na segunda linha:
Substituindo e na primeira linha:

Passo 5

(D) Substituir os resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Vamos verificar os valores encontrados:
çã
çã
çã
Para :
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Para , e obtidos pela Regra de Cramer:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:

Resposta

Utilizando a Regra de Cramer, as soluções do sistema são aproximadamente:
E utilizando a eliminação de Gauss com pivotamento parcial, as soluções são:
A verificação nas equações originais confirma que os valores obtidos pela Regra de Cramer estão corretos.

Exercícios relacionados

Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema com tolerância de . Se necessário, reorganize as equações para garantir a convergência.
(A) Resolva o sistema sem relaxamento .
(B) Resolva o sistema com relaxamento ( ).
Efetue a decomposição de Crout em
Então, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para verificar que se obtém [A].
Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que .
Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU com pivotamento parcial: