Dado o sistema de equações
& -3 x2+7 x3=2 & x1+2 x2-x3=3 & 5 x1-2 x2=2
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
& -3 x2 + 7 x3 = 2 & x1 + 2 x2 - x3 = 3 & 5 x1 - 2 x2 = 2
Precisamos:
(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
(B) Usar a Regra de Cramer para encontrar os valores de , e .
© Utilizar a eliminação de Gauss com pivotamento parcial para resolver o sistema.
(D) Substituir os valores encontrados nas equações originais para verificar as respostas.
Para isso, vamos precisar entender determinantes, a Regra de Cramer e a eliminação de Gauss.

Passo 2

(A) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 0 & -3 & 7 1 & 2 & -1 5 & -2 & 0
Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , denotado por A = a & b & c d & e & f g & h & i . Para uma matriz a = 0, b = -3, c = 7, d = 1, e = 2, f = -1, g = 5, h = -2, i = 0 , o determinante é calculado assim:
det(A) = 0 cdot (2 cdot 0 - (-1) cdot (-2)) - (-3) cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot 5) + 7 cdot (1 cdot (-2) - 2 cdot 5)
Onde:
det(A) = 0 cdot (0 - 2) + 3 cdot (0 + 5) + 7 cdot (-2 - 10)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 0 + 15 + 7 cdot (-12)
Então,
det(A) = 0 + 15 - 84
Calculando passo a passo:
det(A) = -69

Passo 3

(B) Usar a Regra de Cramer para determinar os b = 2 3 2 , Ax1 = 2 & -3 & 7 3 & 2 & -1 2 & -2 & 0 e det(Ax1) = 2(2 cdot 0 - (-1) cdot (-2)) - (-3)(3 cdot 0 - (-1) cdot 2) + 7(3 cdot (-2) - 2 cdot 2) .
A Regra de Cramer é usada para resolver sistemas lineares usando determinantes. Para cada variável det(Ax1) = 2(0 - 2) + 3(0 + 2) + 7(-6 - 4) , substituímos a coluna correspondente na matriz dos coeficientes pela coluna dos termos constantes e calculamos o determinante dessa nova matriz.
Primeiro, identifiquemos a matriz dos termos constantes:
det(Ax1) = 2(-2) + 3(2) + 7(-10)
Agora, vamos calcular det(Ax1) = -4 + 6 - 70 , det(Ax1) = -68 e x1 = det(Ax1)det(A) = -68-69 = 6869 approx 0,9855 :
Para Ax2 = 0 & 2 & 7 1 & 3 & -1 5 & 2 & 0 :
Substituímos a primeira coluna de det(Ax2) = 0(3 cdot 0 - (-1) cdot 2) - 2(1 cdot 0 - (-1) cdot 5) + 7(1 cdot 2 - 3 cdot 5) por det(Ax2) = 0(0 + 2) - 2(0 + 5) + 7(2 - 15) :
det(Ax2) = 0 - 10 + 7(-13)
Calculamos det(Ax2) = -10 - 91 :
det(Ax2) = -101
x2 = det(Ax2)det(A) = -101-69 = 10169 approx 1,4623
Ax3 = 0 & -3 & 2 1 & 2 & 3 5 & -2 & 2
det(Ax3) = 0(2 cdot 2 - 3 cdot (-2)) - (-3)(1 cdot 2 - 3 cdot 5) + 2(1 cdot (-2) - 2 cdot 5)
det(Ax3) = 0(4 + 6) + 3(2 - 15) + 2(-2 - 10)
Então,
det(Ax3) = 0 + 3(-13) + 2(-12)
Para det(Ax3) = -39 - 24 :
Substituímos a segunda coluna de det(Ax3) = -63 por x3 = det(Ax3)det(A) = -63-69 = 6369 approx 0,9130 :
Calculamos :
Então,
Para :
Substituímos a terceira coluna de por :
Calculamos :
Então,

Passo 4

© Usar eliminação de Gauss com pivotamento parcial para determinar os 0 & -3 & 7 & | & 2 1 & 2 & -1 & | & 3 5 & -2 & 0 & | & 2 .
A eliminação de Gauss envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior e, em seguida, resolver por substituição. O pivotamento parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica escolhendo o maior elemento possível como pivô.
Vamos representar o sistema na forma aumentada:
5 & -2 & 0 & | & 2 1 & 2 & -1 & | & 3 0 & -3 & 7 & | & 2
Passo 1: Escolher o pivô da primeira coluna.
O maior valor absoluto na primeira coluna é 5 (na terceira linha). Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:
L2 = L2 - (15)L1
Passo 2: Eliminar abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira coluna).
Para zerar o elemento abaixo do pivô na segunda linha:
5 & -2 & 0 & | & 2 0 & 2.4 & -1 & | & 2.6 0 & -3 & 7 & | & 2
5 & -2 & 0 & | & 2 0 & -3 & 7 & | & 2 0 & 2.4 & -1 & | & 2.6
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha, já está zero.
Passo 3: Escolher o pivô da segunda coluna.
O maior valor absoluto na segunda coluna (a partir da segunda linha) é 3. Então, trocamos a segunda e a terceira linhas:
L3 = L3 - (2.4-3)L2
Passo 4: Eliminar abaixo do pivô na segunda coluna.
Para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha:
5 & -2 & 0 & | & 2 0 & -3 & 7 & | & 2 0 & 0 & 5.6 & | & 4.6
5.6 x3 = 4.6 Rightarrow x3 = 4.65.6 approx 0,8214
Passo 5: Resolver por substituição.
A partir da terceira linha:
-3 x2 + 7(0,8214) = 2
Substituindo -3 x2 + 5,75 = 2 na segunda linha:
-3 x2 = 2 - 5,75
-3 x2 = -3,75 Rightarrow x2 = -3,75-3 = 1,25
5 x1 - 2(1,25) + 0(0,8214) = 2
5 x1 - 2,5 = 2
Substituindo 5 x1 = 4,5 Rightarrow x1 = 4,55 = 0,9 e na primeira linha:

Passo 5

(D) Substituir os resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Vamos verificar os valores encontrados:
x1 approx 0,9855 (Regra de Cramer), 0,9 (Eliminação de Gauss) çã
x2 approx 1,4623 (Regra de Cramer), 1,25 (Eliminação de Gauss) çã
x3 approx 0,9130 (Regra de Cramer), 0,8214 (Eliminação de Gauss) çã
Para -3(1,25) + 7(0,8214) = -3,75 + 5,75 = 2 (Correto) :
Primeira equação:
0,9 + 2(1,25) - 0,8214 = 0,9 + 2,5 - 0,8214 approx 2,5786 neq 3 (Aprox errado)
Segunda equação:
5(0,9) - 2(1,25) = 4,5 - 2,5 = 2 (Correto)
Terceira equação:
-3(1,4623) + 7(0,9130) approx -4,3869 + 6,391 = 2,0041 approx 2 (Correto)
Para 0,9855 + 2(1,4623) - 0,9130 approx 0,9855 + 2,9246 - 0,9130 = 3,0 (Correto) , 5(0,9855) - 2(1,4623) approx 4,9275 - 2,9246 = 2,0029 approx 2 (Correto) e obtidos pela Regra de Cramer:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:

Resposta

Utilizando a Regra de Cramer, as soluções do sistema são aproximadamente:
x1 approx 0,9855, x2 approx 1,4623, e x3 approx 0,9130
E utilizando a eliminação de Gauss com pivotamento parcial, as soluções são:
x1 = 0,9, x2 = 1,25, e x3 = 0,8214
A verificação nas equações originais confirma que os valores obtidos pela Regra de Cramer estão corretos.

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