Efetue a decomposição de Crout em
2 x1-6 x2+x3 & =12 -x1+7 x2-x3 & =-8 x1-3 x2+2 x3 & =16
Então, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para verificar que se obtém [A].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um sistema de equações lineares:
2 x1-6 x2+x3 & =12 - x1+7 x2-x3 & =-8 x1-3 x2+2 x3 & =16
A tarefa é fazer a decomposição de Crout, que basicamente divide a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior [L] e uma triangular superior [U]. Depois, vamos multiplicar essas duas matrizes para conferir se voltamos a matriz original [A].

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [A] do sistema:
A = 2 & -6 & 1 -1 & 7 & -1 1 & -3 & 2
E queremos encontrar [L] e [U] tal que:
A = L cdot U
Onde:
  • [L] é uma matriz triangular inferior:
L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33
  • [U] é uma matriz triangular superior:
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 3

A decomposição de Crout implica que a diagonal da matriz [U] seja composta por 1’s, mas algumas versões usam a diagonal de [L] com 1’s. Vou seguir a convenção onde [L] tem elementos não nulos na diagonal e [U] tem elementos na diagonal iguais a 1.
Agora, vamos encontrar os elementos de [L] e [U].

Passo 4

Começamos com a primeira linha e coluna.
Para o elemento l11 = a11 = 2 :
u12 = a12l11 = -62 = -3
Para u13 = a13l11 = 12 = 0,5 :
Para :

Passo 5

Agora, vamos para a segunda linha.
Para l21 = a21 = -1 :
l22 = a22 - l21 cdot u12 = 7 - (-1)(-3) = 7 - 3 = 4
Para u23 = a23 - l21 cdot u13l22 = -1 - (-1)(0,5)4 = -1 + 0,54 = -0,54 = -0,125 :
Usamos a fórmula:
Para :

Passo 6

Passando para a terceira linha.
Para l31 = a31 = 1 :
l32 = a32 - l31 cdot u12 = -3 - (1)(-3) = -3 + 3 = 0
Para l33 = a33 - l31 cdot u13 - l32 cdot u23 = 2 - (1)(0,5) - (0)(-0,125) = 2 - 0,5 = 1,5 :
Para :

Passo 7

Agora, temos as matrizes [L] e [U]:
L = 2 & 0 & 0 -1 & 4 & 0 1 & 0 & 1,5
U = 1 & -3 & 0,5 0 & 1 & -0,125 0 & 0 & 1

Passo 8

Vamos multiplicar [L] e [U] para verificar se obtemos a matriz original [A]:
L cdot U = 2 & 0 & 0 -1 & 4 & 0 1 & 0 & 1,5 cdot 1 & -3 & 0,5 0 & 1 & -0,125 0 & 0 & 1
Calculando cada elemento:
  • L cdot U = 2 & -6 & 1 -1 & 7 & -1 1 & -3 & 2 = A
Então,

Resposta

As matrizes de decomposição de Crout são:
L = 2 & 0 & 0 -1 & 4 & 0 1 & 0 & 1,5
U = 1 & -3 & 0,5 0 & 1 & -0,125 0 & 0 & 1
E a multiplicação retorna a matriz original [A], confirmando a decomposição correta.

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