Efetue a decomposição de Crout em
Então, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para verificar que se obtém [A].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um sistema de equações lineares:
A tarefa é fazer a decomposição de Crout, que basicamente divide a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior [L] e uma triangular superior [U]. Depois, vamos multiplicar essas duas matrizes para conferir se voltamos a matriz original [A].

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [A] do sistema:
E queremos encontrar [L] e [U] tal que:
Onde:
  • [L] é uma matriz triangular inferior:
  • [U] é uma matriz triangular superior:

Passo 3

A decomposição de Crout implica que a diagonal da matriz [U] seja composta por 1’s, mas algumas versões usam a diagonal de [L] com 1’s. Vou seguir a convenção onde [L] tem elementos não nulos na diagonal e [U] tem elementos na diagonal iguais a 1.
Agora, vamos encontrar os elementos de [L] e [U].

Passo 4

Começamos com a primeira linha e coluna.
Para o elemento :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos para a segunda linha.
Para :
Para :
Usamos a fórmula:
Para :

Passo 6

Passando para a terceira linha.
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, temos as matrizes [L] e [U]:

Passo 8

Vamos multiplicar [L] e [U] para verificar se obtemos a matriz original [A]:
Calculando cada elemento:
Então,

Resposta

As matrizes de decomposição de Crout são:
E a multiplicação retorna a matriz original [A], confirmando a decomposição correta.

Exercícios relacionados

Resolva:
Com
(A) eliminação de Gauss ingênua.
(B) eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
© Gauss-Jordan sem pivotamento parcial.
Considere o sistema de duas equações lineares a seguir:
(A) Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss arredondando em quatro algarismos significativos.
(B) Troque a ordem das equações e resolva o sistema com o método de eliminação de Gauss arredondando em quatro algarismos significativos.
Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema com tolerância de . Se necessário, reorganize as equações para garantir a convergência.
(A) Resolva o sistema sem relaxamento .
(B) Resolva o sistema com relaxamento ( ).
Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.