Então, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para verificar que se obtém [A].
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um sistema de equações lineares:
A tarefa é fazer a decomposição de Crout, que basicamente divide a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior [L] e uma triangular superior [U]. Depois, vamos multiplicar essas duas matrizes para conferir se voltamos a matriz original [A].
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz [A] do sistema:
E queremos encontrar [L] e [U] tal que:
Onde:
[L] é uma matriz triangular inferior:
[U] é uma matriz triangular superior:
Passo 3
A decomposição de Crout implica que a diagonal da matriz [U] seja composta por 1’s, mas algumas versões usam a diagonal de [L] com 1’s. Vou seguir a convenção onde [L] tem elementos não nulos na diagonal e [U] tem elementos na diagonal iguais a 1.
Agora, vamos encontrar os elementos de [L] e [U].
Passo 4
Começamos com a primeira linha e coluna.
Para o elemento :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos para a segunda linha.
Para :
Para :
Usamos a fórmula:
Para :
Passo 6
Passando para a terceira linha.
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, temos as matrizes [L] e [U]:
Passo 8
Vamos multiplicar [L] e [U] para verificar se obtemos a matriz original [A]:
Calculando cada elemento:
Então,
Resposta
As matrizes de decomposição de Crout são:
E a multiplicação retorna a matriz original [A], confirmando a decomposição correta.