Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares e precisamos encontrar a matriz inversa da matriz dos coeficientes usando a decomposição LU. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, decomposição LU e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema dado:

Passo 3

A decomposição LU consiste em escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Ou seja, .

Passo 4

Vamos começar decompondo em e . Inicialmente, será uma matriz identidade e será uma cópia de :

Passo 5

Vamos eliminar o elemento abaixo da primeira posição de . Para isso, multiplicamos a primeira linha de por e adicionamos à segunda linha:
Após o cálculo:

Passo 6

Agora, eliminamos o elemento abaixo da primeira posição na terceira linha. Multiplicamos a primeira linha de por e subtraímos da terceira linha:
Após o cálculo:

Passo 7

Agora, focamos na segunda coluna de . Vamos normalizar o segundo elemento pivot dividindo a segunda linha por ele:

Passo 8

Eliminamos o elemento abaixo de . Multiplicamos a segunda linha de por e subtraímos da terceira linha:
Após o cálculo:

Passo 9

Agora que temos , podemos encontrar resolvendo . Isso envolve resolver três sistemas de equações para as colunas de .

Passo 10

Resolvendo para cada coluna de (que serão as colunas de ), utilizamos substituição progressiva:
Primeiro, resolvemos para , e depois para .

Passo 11

Após resolver os sistemas, obtemos a matriz inversa :

Passo 12

Por fim, verificamos que . Multiplicando as matrizes, confirmamos que o resultado é a matriz identidade:

Resposta

A matriz inversa de é:

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Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema com tolerância de . Se necessário, reorganize as equações para garantir a convergência.
(A) Resolva o sistema sem relaxamento .
(B) Resolva o sistema com relaxamento ( ).
Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU com pivotamento parcial:
Um seguinte sistema de equações é criado para determinar concentrações (com os c
Resolva esse problema pelo método de Gauss-Seidel até .