Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares e precisamos encontrar a matriz inversa da matriz dos coeficientes usando a decomposição LU. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, decomposição LU e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema dado:
Passo 3
A decomposição LU consiste em escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Ou seja, .
Passo 4
Vamos começar decompondo em e . Inicialmente, será uma matriz identidade e será uma cópia de :
Passo 5
Vamos eliminar o elemento abaixo da primeira posição de . Para isso, multiplicamos a primeira linha de por e adicionamos à segunda linha:
Após o cálculo:
Passo 6
Agora, eliminamos o elemento abaixo da primeira posição na terceira linha. Multiplicamos a primeira linha de por e subtraímos da terceira linha:
Após o cálculo:
Passo 7
Agora, focamos na segunda coluna de . Vamos normalizar o segundo elemento pivot dividindo a segunda linha por ele:
Passo 8
Eliminamos o elemento abaixo de . Multiplicamos a segunda linha de por e subtraímos da terceira linha:
Após o cálculo:
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar resolvendo . Isso envolve resolver três sistemas de equações para as colunas de .
Passo 10
Resolvendo para cada coluna de (que serão as colunas de ), utilizamos substituição progressiva:
Primeiro, resolvemos para , e depois para .
Passo 11
Após resolver os sistemas, obtemos a matriz inversa :
Passo 12
Por fim, verificamos que . Multiplicando as matrizes, confirmamos que o resultado é a matriz identidade: