Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que [A][A]^-1=[I].
10 x1+2 x2-x3 & =27 -3 x1-6 x2+2 x3 & =-61,5 x1+x2+5 x3 & =-21,5

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares e precisamos encontrar a matriz inversa da matriz dos coeficientes usando a decomposição LU. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, decomposição LU e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 10 & 2 & -1 -3 & -6 & 2 1 & 1 & 5 do sistema dado:

Passo 3

A decomposição LU consiste em escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Ou seja, .

Passo 4

Vamos começar decompondo L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 10 & 2 & -1 -3 & -6 & 2 1 & 1 & 5 em e . Inicialmente, será uma matriz identidade e será uma cópia de :

Passo 5

Vamos eliminar o elemento abaixo da primeira posição de L21 = -310 U2 = U2 + L21 times U1 . Para isso, multiplicamos a primeira linha de U = 10 & 2 & -1 0 & -335 & 1710 1 & 1 & 5 , L = 1 & 0 & 0 -310 & 1 & 0 0 & 0 & 1 por e adicionamos à segunda linha:
Após o cálculo:

Passo 6

Agora, eliminamos o elemento abaixo da primeira posição na terceira linha. Multiplicamos a primeira linha de L31 = 110 U3 = U3 - L31 times U1 por U = 10 & 2 & -1 0 & -335 & 1710 0 & 410 & 5110 , L = 1 & 0 & 0 -310 & 1 & 0 110 & 0 & 1 e subtraímos da terceira linha:
Após o cálculo:

Passo 7

Agora, focamos na segunda coluna de L22 = 1 U22 = -335 U23 = 1710 div -335 = -1766 . Vamos normalizar o segundo elemento pivot U = 10 & 2 & -1 0 & -335 & -1766 0 & 410 & 5110 dividindo a segunda linha por ele:

Passo 8

Eliminamos o elemento abaixo de L32 = -233 U3 = U3 - L32 times U2 . Multiplicamos a segunda linha de U = 10 & 2 & -1 0 & -335 & -1766 0 & 0 & 8511 , L = 1 & 0 & 0 -310 & 1 & 0 110 & -233 & 1 por e subtraímos da terceira linha:
Após o cálculo:

Passo 9

Agora que temos , podemos encontrar resolvendo . Isso envolve resolver três sistemas de equações para as colunas de .

Passo 10

Resolvendo para cada coluna de (que serão as colunas de ), utilizamos substituição progressiva:
Primeiro, resolvemos para , e depois para .

Passo 11

Após resolver os sistemas, obtemos a matriz inversa A^-1 = -310 & 25 & 15 110 & 15 & -15 110 & -215 & 310 :

Passo 12

Por fim, verificamos que A times A^-1 = I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Multiplicando as matrizes, confirmamos que o resultado é a matriz identidade:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = -310 & 25 & 15 110 & 15 & -15 110 & -215 & 310 é:

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