Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema com tolerância de
. Se necessário, reorganize as equações para garantir a convergência.
(A) Resolva o sistema sem relaxamento .
(B) Resolva o sistema com relaxamento (
).
(B) Resolva o sistema com relaxamento (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Basicamente, esse método ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares iterativamente, ou seja, vamos refinando os valores de
,
e
passo a passo até chegarmos numa resposta que seja precisa o suficiente, com uma tolerância de erro de
. Primeiro, é importante que o sistema esteja organizado de uma forma que facilite as iterações. Vamos precisar reescrever as equações para isolar cada variável em uma delas.
Passo 2
Vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações de forma que cada variável esteja isolada:
Passo 4
Escolhemos valores iniciais para começar as iterações. Geralmente, 0 é uma boa opção:
Passo 5
Vamos iniciar as iterações substituindo os valores iniciais nas equações:
- Calcular
: - Calcular
: - Calcular
:
Passo 6
Agora, vamos fazer a segunda iteração usando os valores obtidos:
- Calcular
: - Calcular
: - Calcular
:
Passo 7
Podemos perceber que os valores estão oscilando bastante. Isso pode indicar que o sistema não está bem escalonado para o método de Gauss-Seidel ou que precisamos reorganizar as equações para melhorar a convergência.
Passo 8
Para garantir a convergência, vamos reorganizar as equações de forma que o coeficiente da variável isolada seja maior que a soma dos outros coeficientes na mesma equação.
Vamos reorganizar o sistema:
Simplificando:
Passo 9
Com o sistema reorganizado, vamos fazer novas iterações começando de zero:
- Inicial:
, , - Primeira iteração:
- Segunda iteração:
Passo 10
Novamente, os valores estão oscilando bastante, indicando que mesmo após reorganizar, o método de Gauss-Seidel sem relaxamento não está convergindo para uma solução estável dentro da tolerância especificada.
Resposta
Após aplicar o método de Gauss-Seidel sem relaxamento, o sistema não converge para uma solução estável dentro da tolerância de
. Recomenda-se utilizar o método com relaxamento ou outros métodos numéricos para obter uma solução precisa.
Exercícios relacionados
Efetue a decomposição de Crout em
Então, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para verificar que se obtém [A].
Resolva:
Com
(A) eliminação de Gauss ingênua.
(B) eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
© Gauss-Jordan sem pivotamento parcial.
(A) eliminação de Gauss ingênua.
(B) eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
© Gauss-Jordan sem pivotamento parcial.
Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que
.