Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema com tolerância de varepsilons=5 %. Se necessário, reorganize as equações para garantir a convergência.
2 x1-6 x2-x3 & =-38 -3 x1-x2+7 x3 & =-34 -8 x1+x2-2 x3 & =-20
(A) Resolva o sistema sem relaxamento .
(B) Resolva o sistema com relaxamento ( lambda=1,2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Basicamente, esse método ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares iterativamente, ou seja, vamos refinando os valores de , e passo a passo até chegarmos numa resposta que seja precisa o suficiente, com uma tolerância de erro de . Primeiro, é importante que o sistema esteja organizado de uma forma que facilite as iterações. Vamos precisar reescrever as equações para isolar cada variável em uma delas.

Passo 2

Vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
  1. Da primeira equação: 2x1 = -38 + 6x2 + x3 implies x1 = -38 + 6x2 + x32
  2. Da segunda equação: -x2 = -34 + 3x1 - 7x3 implies x2 = 34 - 3x1 + 7x3
  3. Da terceira equação: x2 = -20 + 8x1 + 2x3

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações de forma que cada variável esteja isolada:
x1 &= -38 + 6x2 + x32 x2 &= 34 - 3x1 + 7x3 x3 &= -20 + 8x1 + x22

Passo 4

Escolhemos valores iniciais para começar as iterações. Geralmente, 0 é uma boa opção:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0

Passo 5

Vamos iniciar as iterações substituindo os valores iniciais nas equações:
  1. Calcular x1^(1) = -38 + 6(0) + 02 = -382 = -19 : x2^(1) = 34 - 3(-19) + 7(0) = 34 + 57 = 91
  2. Calcular x3^(1) = -20 + 8(-19) + 912 = -20 -152 +912 = -812 = -40.5 :
  3. Calcular :

Passo 6

Agora, vamos fazer a segunda iteração usando os valores obtidos:
  1. Calcular x1^(2) = -38 + 6(91) + (-40.5)2 = -38 + 546 -40.52 = 467.52 = 233.75 : x2^(2) = 34 - 3(233.75) + 7(-40.5) = 34 - 701.25 -283.5 = -950.75
  2. Calcular x3^(2) = -20 + 8(233.75) + (-950.75)2 = -20 + 1870 -950.752 = 899.252 = 449.625 :
  3. Calcular :

Passo 7

Podemos perceber que os valores estão oscilando bastante. Isso pode indicar que o sistema não está bem escalonado para o método de Gauss-Seidel ou que precisamos reorganizar as equações para melhorar a convergência.

Passo 8

Para garantir a convergência, vamos reorganizar as equações de forma que o coeficiente da variável isolada seja maior que a soma dos outros coeficientes na mesma equação.
Vamos reorganizar o sistema:
x1 &= -38 + 6x2 + x32 x2 &= -34 + 3x1 + 7x3-1 (Mu
Simplificando:
x1 &= -19 + 3x2 + 0.5x3 x2 &= 34 - 3x1 - 7x3 x3 &= -10 + 4x1 - 0.5x2

Passo 9

Com o sistema reorganizado, vamos fazer novas iterações começando de zero:
  1. Inicial: x1^(1) &= -19 + 3(0) + 0.5(0) = -19 x2^(1) &= 34 - 3(-19) - 7(0) = 34 + 57 = 91 x3^(1) &= -10 + 4(-19) - 0.5(0) = -10 -76 = -86 , x1^(2) &= -19 + 3(91) + 0.5(-86) = -19 + 273 -43 = 211 x2^(2) &= 34 - 3(211) - 7(-86) = 34 - 633 + 602 = 3 x3^(2) &= -10 + 4(211) - 0.5(3) = -10 + 844 -1.5 = 832.5 ,
  2. Primeira iteração:
  3. Segunda iteração:

Passo 10

Novamente, os valores estão oscilando bastante, indicando que mesmo após reorganizar, o método de Gauss-Seidel sem relaxamento não está convergindo para uma solução estável dentro da tolerância especificada.

Resposta

Após aplicar o método de Gauss-Seidel sem relaxamento, o sistema não converge para uma solução estável dentro da tolerância de . Recomenda-se utilizar o método com relaxamento ou outros métodos numéricos para obter uma solução precisa.

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