Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema com tolerância de . Se necessário, reorganize as equações para garantir a convergência.
(A) Resolva o sistema sem relaxamento .
(B) Resolva o sistema com relaxamento ( ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Basicamente, esse método ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares iterativamente, ou seja, vamos refinando os valores de , e passo a passo até chegarmos numa resposta que seja precisa o suficiente, com uma tolerância de erro de . Primeiro, é importante que o sistema esteja organizado de uma forma que facilite as iterações. Vamos precisar reescrever as equações para isolar cada variável em uma delas.

Passo 2

Vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações de forma que cada variável esteja isolada:

Passo 4

Escolhemos valores iniciais para começar as iterações. Geralmente, 0 é uma boa opção:

Passo 5

Vamos iniciar as iterações substituindo os valores iniciais nas equações:
  1. Calcular :
  2. Calcular :
  3. Calcular :

Passo 6

Agora, vamos fazer a segunda iteração usando os valores obtidos:
  1. Calcular :
  2. Calcular :
  3. Calcular :

Passo 7

Podemos perceber que os valores estão oscilando bastante. Isso pode indicar que o sistema não está bem escalonado para o método de Gauss-Seidel ou que precisamos reorganizar as equações para melhorar a convergência.

Passo 8

Para garantir a convergência, vamos reorganizar as equações de forma que o coeficiente da variável isolada seja maior que a soma dos outros coeficientes na mesma equação.
Vamos reorganizar o sistema:
Simplificando:

Passo 9

Com o sistema reorganizado, vamos fazer novas iterações começando de zero:
  1. Inicial: , ,
  2. Primeira iteração:
  3. Segunda iteração:

Passo 10

Novamente, os valores estão oscilando bastante, indicando que mesmo após reorganizar, o método de Gauss-Seidel sem relaxamento não está convergindo para uma solução estável dentro da tolerância especificada.

Resposta

Após aplicar o método de Gauss-Seidel sem relaxamento, o sistema não converge para uma solução estável dentro da tolerância de . Recomenda-se utilizar o método com relaxamento ou outros métodos numéricos para obter uma solução precisa.

Exercícios relacionados

Efetue a decomposição de Crout em
Então, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para verificar que se obtém [A].
Resolva:
Com
(A) eliminação de Gauss ingênua.
(B) eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
© Gauss-Jordan sem pivotamento parcial.
Dado o sistema de equações
(A) Calcule o determinante.
(B) Use a regra de Cramer para determinar os x© Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para deter- minar os x(D) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que .