Dado o sistema linear abaixo,
© Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a decomposição de Crout.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a decomposição de Crout. Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três equações com três incógnitas ( , , ):
A decomposição de Crout é uma técnica que vai nos ajudar a quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, o que facilita a resolução do sistema. Vamos precisar construir essas matrizes e, em seguida, resolver o sistema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes :
Agora, vamos aplicar a decomposição de Crout, que consiste em escrever , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior com elementos da diagonal igual a 1.

Passo 3

Vamos começar construindo a matriz :
E a matriz :
Nosso objetivo é encontrar os elementos de e de forma que .

Passo 4

Multiplicando e , temos:

[
A = L \cdot U =
\cdot


]
Vamos igualar isso à matriz para encontrar os elementos de e .

Passo 5

Igualando os elementos correspondentes:
  1. (porque o elemento é 0)
Resolvendo a última equação:

Passo 6

Agora temos todas as entradas de e :

Passo 7

Com , podemos resolver o sistema em duas etapas:
  1. Resolver para
  2. Resolver para
Vamos começar resolvendo :
Da primeira equação, temos . Da segunda, .
Substituindo esses valores na terceira equação:

Passo 8

Resolvendo para :
Então,

Passo 9

Agora, vamos resolver :
Da terceira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
(a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.
Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.(a)
Responda verdadeiro ou falso:(b) A eliminação de Gauss pode falhar somente quando a matriz de coeficientes é malcondicionada ou singular.