Dado o sistema linear abaixo,
l x1+x2-x3=0 12 x2-x3=4 2 x1+x2+x3=5
© Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a decomposição de Crout.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a decomposição de Crout. Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três equações com três incógnitas ( x1 + x2 - x3 = 0 12x2 - x3 = 4 2x1 + x2 + x3 = 5 , , ):
A decomposição de Crout é uma técnica que vai nos ajudar a quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, o que facilita a resolução do sistema. Vamos precisar construir essas matrizes e, em seguida, resolver o sistema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 2 & 1 & 1 , b = 0 4 5 e o vetor dos termos constantes :
Agora, vamos aplicar a decomposição de Crout, que consiste em escrever , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior com elementos da diagonal igual a 1.

Passo 3

Vamos começar construindo a matriz L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 :
U = 1 & u12 & u13 0 & 1 & u23 0 & 0 & 1
E a matriz :
Nosso objetivo é encontrar os elementos de e de forma que .

Passo 4

Multiplicando A = L cdot U = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 cdot 1 & u12 & u13 0 & 1 & u23 0 & 0 & 1 = l11 & l11u12 & l11u13 l21 & l21u12 + l22 & l21u13 + l22u23 l31 & l31u12 + l32 & l31u13 + l32u23 + l33 e , temos:

[
A = L \cdot U =
\cdot


]
Vamos igualar isso à matriz para encontrar os elementos de e .

Passo 5

Igualando os elementos correspondentes:
  1. -2 + 112 + l33 = 1 Rightarrow l33 = 1 + 2 - 112 = 3 - 112 = 3512
  2. (porque o elemento é 0)
Resolvendo a última equação:

Passo 6

Agora temos todas as entradas de L = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 2 & -1 & 3512 , U = 1 & 1 & -1 0 & 1 & -112 0 & 0 & 1 e :

Passo 7

Com 1 cdot y1 = 0 12 cdot y2 = 4 2 cdot y1 - 1 cdot y2 + 3512 cdot y3 = 5 , podemos resolver o sistema 2(0) - 1 (13) + 3512 y3 = 5 Rightarrow -13 + 3512 y3 = 5 em duas etapas:
  1. Resolver para
  2. Resolver para
Vamos começar resolvendo :
Da primeira equação, temos . Da segunda, .
Substituindo esses valores na terceira equação:

Passo 8

Resolvendo para 3512 y3 = 5 + 13 = 163 Rightarrow y3 = 163 cdot 1235 = 192105 = 6435 :
0 13 6435
Então,

Passo 9

Agora, vamos resolver x1 + x2 - x3 = 0 x2 - 112 x3 = 13 x3 = 6435 :
x2 - 112 (6435) = 13 Rightarrow x2 = 13 + 64420 = 140420 + 64420 = 204420 = 1735
Da terceira equação, já sabemos que x1 + 1735 - 6435 = 0 Rightarrow x1 = 6435 - 1735 = 4735 .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 4735, x2 = 1735, x3 = 6435

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