Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos. (a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de **Gauss com pivotação parcial**. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma mais fácil de resolver, normalmente uma matriz triangular superior. Para isso, vamos precisar entender como fazer **trocas de linhas** para garantir que o número que usamos como **pivô** (aquele número que ajuda a eliminar as outras variáveis) seja o maior possível em cada etapa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma **matriz aumentada**: Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e a coluna da direita (após o "|") representa os termos constantes.

Passo 3

Agora, começamos a **eliminação**. O primeiro passo é olhar para a primeira coluna e escolher o maior valor absoluto para ser o **pivô**. Isso ajuda a minimizar erros de arredondamento na aritmética flutuante. Analisando a primeira coluna: - Linha 1: 1 - Linha 2: 0 - Linha 3: 2 O maior valor absoluto é **2** (da Linha 3). Então, precisamos **trocar a Linha 1 com a Linha 3** para colocar esse valor no topo.

Passo 4

Após a troca, a matriz fica assim: Essa troca garante que estamos usando o maior pivô possível na primeira coluna.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Olhando para os elementos abaixo do pivô atual (12 na Linha 2), verificamos se precisamos trocar linhas novamente para encontrar o maior valor absoluto. Analisando a segunda coluna nas linhas 2 e 3: - Linha 2: 12 - Linha 3: 1 O maior valor absoluto é **12**, que já está na Linha 2. Portanto, **não precisamos fazer nenhuma troca** nessa etapa.

Passo 6

Por último, na terceira coluna, já temos um pivô adequado, então não há necessidade de mais trocas.

Resposta

As trocas de linhas necessárias para resolver o sistema utilizando Gauss com pivotação parcial são: 1. **Troca da Linha 1 com a Linha 3**. Não são necessárias outras trocas para as próximas colunas.

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