Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
l x1+x2-x3=0 12 x2-x3=4 2 x1+x2+x3=5
(a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss com pivotação parcial. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma mais fácil de resolver, normalmente uma matriz triangular superior. Para isso, vamos precisar entender como fazer trocas de linhas para garantir que o número que usamos como pivô (aquele número que ajuda a eliminar as outras variáveis) seja o maior possível em cada etapa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 12 & -1 & | & 4 2 & 1 & 1 & | & 5
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e a coluna da direita (após o “|”) representa os termos constantes.

Passo 3

Agora, começamos a eliminação. O primeiro passo é olhar para a primeira coluna e escolher o maior valor absoluto para ser o pivô. Isso ajuda a minimizar erros de arredondamento na aritmética flutuante.
Analisando a primeira coluna:
  • Linha 1: 1
  • Linha 2: 0
  • Linha 3: 2
O maior valor absoluto é 2 (da Linha 3). Então, precisamos trocar a Linha 1 com a Linha 3 para colocar esse valor no topo.

Passo 4

Após a troca, a matriz fica assim:
2 & 1 & 1 & | & 5 0 & 12 & -1 & | & 4 1 & 1 & -1 & | & 0
Essa troca garante que estamos usando o maior pivô possível na primeira coluna.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Olhando para os elementos abaixo do pivô atual (12 na Linha 2), verificamos se precisamos trocar linhas novamente para encontrar o maior valor absoluto.
Analisando a segunda coluna nas linhas 2 e 3:
  • Linha 2: 12
  • Linha 3: 1
O maior valor absoluto é 12, que já está na Linha 2. Portanto, não precisamos fazer nenhuma troca nessa etapa.

Passo 6

Por último, na terceira coluna, já temos um pivô adequado, então não há necessidade de mais trocas.

Resposta

As trocas de linhas necessárias para resolver o sistema utilizando Gauss com pivotação parcial são:
  1. Troca da Linha 1 com a Linha 3.
Não são necessárias outras trocas para as próximas colunas.

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