Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
(a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss com pivotação parcial. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma mais fácil de resolver, normalmente uma matriz triangular superior. Para isso, vamos precisar entender como fazer trocas de linhas para garantir que o número que usamos como pivô (aquele número que ajuda a eliminar as outras variáveis) seja o maior possível em cada etapa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e a coluna da direita (após o “|”) representa os termos constantes.
Passo 3
Agora, começamos a eliminação. O primeiro passo é olhar para a primeira coluna e escolher o maior valor absoluto para ser o pivô. Isso ajuda a minimizar erros de arredondamento na aritmética flutuante.
Analisando a primeira coluna:
- Linha 1: 1
- Linha 2: 0
- Linha 3: 2
O maior valor absoluto é 2 (da Linha 3). Então, precisamos trocar a Linha 1 com a Linha 3 para colocar esse valor no topo.
Passo 4
Após a troca, a matriz fica assim:
Essa troca garante que estamos usando o maior pivô possível na primeira coluna.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. Olhando para os elementos abaixo do pivô atual (12 na Linha 2), verificamos se precisamos trocar linhas novamente para encontrar o maior valor absoluto.
Analisando a segunda coluna nas linhas 2 e 3:
- Linha 2: 12
- Linha 3: 1
O maior valor absoluto é 12, que já está na Linha 2. Portanto, não precisamos fazer nenhuma troca nessa etapa.
Passo 6
Por último, na terceira coluna, já temos um pivô adequado, então não há necessidade de mais trocas.
Resposta
As trocas de linhas necessárias para resolver o sistema utilizando Gauss com pivotação parcial são:
- Troca da Linha 1 com a Linha 3.
Não são necessárias outras trocas para as próximas colunas.