Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O que você precisa saber aqui é sobre sistemas lineares e como transformá-los em uma forma mais fácil de resolver usando operações nas linhas. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e fazer algumas manobras para chegar à solução ou descobrir se não tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de eliminação.
O sistema é:
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, queremos começar a eliminar as variáveis para simplificar o sistema. O objetivo é ter um número “1” (chamado de pivô) no início de cada linha e zeros abaixo desse pivô.
Observando a primeira coluna, vemos que a primeira linha tem um “0” em . Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda, que tem um “1” em . Isso é chamado de troca de linhas.
Após a troca, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha para criar um zero abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Agora, observamos que a segunda e a terceira linhas são muito parecidas. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para ver o que acontece:
Chegamos a uma linha que diz , ou simplesmente . Isso é uma contradição, o que significa que não existe nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
O sistema é inconsistente e não possui solução. Além disso, foi necessária uma troca de linhas para realizar a eliminação de Gauss.