Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O que você precisa saber aqui é sobre sistemas lineares e como transformá-los em uma forma mais fácil de resolver usando operações nas linhas. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e fazer algumas manobras para chegar à solução ou descobrir se não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de eliminação.
O sistema é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, queremos começar a eliminar as variáveis para simplificar o sistema. O objetivo é ter um número “1” (chamado de pivô) no início de cada linha e zeros abaixo desse pivô.
Observando a primeira coluna, vemos que a primeira linha tem um “0” em . Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda, que tem um “1” em . Isso é chamado de troca de linhas.
Após a troca, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha para criar um zero abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:

Passo 5

Agora, observamos que a segunda e a terceira linhas são muito parecidas. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para ver o que acontece:
Chegamos a uma linha que diz , ou simplesmente . Isso é uma contradição, o que significa que não existe nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução. Além disso, foi necessária uma troca de linhas para realizar a eliminação de Gauss.

Exercícios relacionados

Responda verdadeiro ou falso:(f) Existem sistemas lineares que convergem para a solução exata quando qualquer valor real é dado como aproximação inicial em métodos iterativos.
Calcule o valor da integral
(d) Utilizando a segunda regra de Simpson.
Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
(a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.
Dado o sistema linear abaixo,
© Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a decomposição de Crout.