Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.(a) lx2-2 x3=4 x1-x2+x3=6 x1-x3=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O que você precisa saber aqui é sobre sistemas lineares e como transformá-los em uma forma mais fácil de resolver usando operações nas linhas. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e fazer algumas manobras para chegar à solução ou descobrir se não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de eliminação.
O sistema é:
x2 - 2x3 = 4 x1 - x2 + x3 = 6 x1 - x3 = 2
A matriz aumentada fica assim:
0 & 1 & -2 & | & 4 1 & -1 & 1 & | & 6 1 & 0 & -1 & | & 2

Passo 3

Agora, queremos começar a eliminar as variáveis para simplificar o sistema. O objetivo é ter um número “1” (chamado de pivô) no início de cada linha e zeros abaixo desse pivô.
Observando a primeira coluna, vemos que a primeira linha tem um “0” em 1 & -1 & 1 & | & 6 0 & 1 & -2 & | & 4 1 & 0 & -1 & | & 2 . Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda, que tem um “1” em . Isso é chamado de troca de linhas.
Após a troca, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - Linha 1 da terceira linha para criar um zero abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
1 & -1 & 1 & | & 6 0 & 1 & -2 & | & 4 0 & 1 & -2 & | & -4

Passo 5

Agora, observamos que a segunda e a terceira linhas são muito parecidas. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para ver o que acontece:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
1 & -1 & 1 & | & 6 0 & 1 & -2 & | & 4 0 & 0 & 0 & | & -8
Chegamos a uma linha que diz , ou simplesmente . Isso é uma contradição, o que significa que não existe nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução. Além disso, foi necessária uma troca de linhas para realizar a eliminação de Gauss.

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