Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.(a) l3 x1-x2+x3=1 3 x1+6 x2+2 x3=0 4 x1+3 x2+7 x3=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente vai precisar reorganizar as equações para expressar cada variável em função das outras e, então, realizar as iterações para chegar mais perto da solução correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema de forma que cada variável fique isolada. Isso facilita na hora das iterações.
  1. Da primeira equação: x1 = 1 + x2 - x33
    x2 = -3x1 - 2x36
  2. Da segunda equação: x3 = 4 - 4x1 - 3x27
  3. Da terceira equação:

Passo 3

Agora, vamos escolher valores iniciais para x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0 , e . Uma escolha comum é começar com zero para todas as variáveis:

Passo 4

Vamos realizar a primeira iteração ( x1^(1) = 1 + x2^(0) - x3^(0)3 = 1 + 0 - 03 = 13 approx 0,333 ) substituindo os valores iniciais nas expressões que isolaram as variáveis.
  1. Calculando x2^(1) = -3x1^(1) - 2x3^(0)6 = -3(0,333) - 06 approx -16 approx -0,1667 :
    x3^(1) = 4 - 4x1^(1) - 3x2^(1)7 = 4 - 4(0,333) - 3(-0,1667)7 approx 4 - 1,333 + 0,57 approx 3,1677 approx 0,453
  2. Calculando :
  3. Calculando :

Passo 5

Agora, vamos para a segunda iteração ( x1^(2) = 1 + x2^(1) - x3^(1)3 = 1 + (-0,1667) - 0,4533 approx 0,383 approx 0,127 ) usando os valores de x2^(2) = -3x1^(2) - 2x3^(1)6 = -3(0,127) - 2(0,453)6 approx -0,381 - 0,9066 approx -1,2876 approx -0,2145 , x3^(2) = 4 - 4x1^(2) - 3x2^(2)7 = 4 - 4(0,127) - 3(-0,2145)7 approx 4 - 0,508 + 0,64357 approx 4,13557 approx 0,5908 e .
  1. Calculando :
  2. Calculando :
  3. Calculando :

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro relativo após a segunda iteração. O erro relativo é dado por:
Erro relativo = | x^(k) - x^(k-1)x^(k) |
Vamos calcular para cada variável:
  1. Para Erro relativo = | 0,127 - 0,3330,127 | approx | -0,2060,127 | approx 1,625 :
    Erro relativo = | -0,2145 - (-0,1667)-0,2145 | approx | -0,0478-0,2145 | approx 0,223
  2. Para Erro relativo = | 0,5908 - 0,4530,5908 | approx | 0,13780,5908 | approx 0,233 :
  3. Para :

Resposta

Após duas iterações com o método de Gauss-Seidel, os valores das variáveis são aproximadamente:
x1 approx 0,127, x2 approx -0,2145, x3 approx 0,5908
E os erros relativos são:
Erro relativo de x1 approx 1,625, de x2 approx 0,223, de x3 approx 0,233

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