Dado o sistema linear abaixo,
(a) Encontre as matrizes triangulares e , de forma que todos os elementos da diagonal principal de sejam 1 e . (Decomposição de Doolittle)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Doolittle. O que isso significa? Basicamente, a gente vai quebrar a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior (com 1 na diagonal principal) e uma triangular superior , de modo que . Para isso, precisamos aplicar o método passo a passo sem pular nenhuma etapa, ok?

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
Observa que a primeira linha vem da primeira equação , a segunda da segunda equação (note que o coeficiente de é 0) e a terceira da terceira equação .

Passo 3

Vamos montar as matrizes e inicialmente assim:
Aqui, tem 1 na diagonal e zeros acima, e tem zeros abaixo da diagonal.

Passo 4

Começamos populando a primeira linha de com a primeira linha de :
Então, fica:

Passo 5

Agora, queremos encontrar e . Para isso, usamos a relação .
Para :
Para :
Assim, passa a ser:

Passo 6

Vamos encontrar e usando a segunda linha de :
Agora, fica:

Passo 7

Vamos determinar usando a terceira linha de :
Resolvendo para :
Então, agora é:

Passo 8

Por último, encontramos usando a terceira linha de :
Calculando:
Então, final é:

Resposta

As matrizes triangulares e da Decomposição de Doolittle são:

Exercícios relacionados

Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
© Qual a ordem em que as variáveis e , seriam encontradas caso utilizemos Gauss com pivotação completa?
Dado o sistema linear,
(a) Encontre o(s) valor(es) de para o(s) qual(is) o sistema não tem solução.
Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),
(b) Resolva o sistema linear , em que .
Dada a matriz de coeficientes,
(a) Quais valores inteiros e positivos que x pode assumir para que a matriz seja diagonal estritamente dominante?