(a) Encontre as matrizes triangulares e , de forma que todos os elementos da diagonal principal de sejam 1 e . (Decomposição de Doolittle)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Doolittle. O que isso significa? Basicamente, a gente vai quebrar a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior (com 1 na diagonal principal) e uma triangular superior , de modo que . Para isso, precisamos aplicar o método passo a passo sem pular nenhuma etapa, ok?
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
Observa que a primeira linha vem da primeira equação , a segunda da segunda equação (note que o coeficiente de é 0) e a terceira da terceira equação .
Passo 3
Vamos montar as matrizes e inicialmente assim:
Aqui, tem 1 na diagonal e zeros acima, e tem zeros abaixo da diagonal.
Passo 4
Começamos populando a primeira linha de com a primeira linha de :
Então, fica:
Passo 5
Agora, queremos encontrar e . Para isso, usamos a relação .
Para :
Para :
Assim, passa a ser:
Passo 6
Vamos encontrar e usando a segunda linha de :
Agora, fica:
Passo 7
Vamos determinar usando a terceira linha de :
Resolvendo para :
Então, agora é:
Passo 8
Por último, encontramos usando a terceira linha de :
Calculando:
Então, final é:
Resposta
As matrizes triangulares e da Decomposição de Doolittle são: