Dado o sistema linear abaixo,
l x1+x2-x3=0 12 x2-x3=4 2 x1+x2+x3=5
(a) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que todos os elementos da diagonal principal de L sejam 1 e L U=A. (Decomposição de Doolittle)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Doolittle. O que isso significa? Basicamente, a gente vai quebrar a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior (com 1 na diagonal principal) e uma triangular superior , de modo que . Para isso, precisamos aplicar o método passo a passo sem pular nenhuma etapa, ok?

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 2 & 1 & 1 do sistema:
Observa que a primeira linha vem da primeira equação , a segunda da segunda equação (note que o coeficiente de é 0) e a terceira da terceira equação .

Passo 3

Vamos montar as matrizes L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e inicialmente assim:
Aqui, tem 1 na diagonal e zeros acima, e tem zeros abaixo da diagonal.

Passo 4

Começamos populando a primeira linha de u11 = 1, u12 = 1, u13 = -1 com a primeira linha de U = 1 & 1 & -1 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 :
Então, fica:

Passo 5

Agora, queremos encontrar A21 = l21 cdot U11 Rightarrow 0 = l21 cdot 1 Rightarrow l21 = 0 e A31 = l31 cdot U11 Rightarrow 2 = l31 cdot 1 Rightarrow l31 = 2 . Para isso, usamos a relação L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & l32 & 1 .
Para :
Para :
Assim, passa a ser:

Passo 6

Vamos encontrar A22 = l21 cdot U12 + u22 Rightarrow 12 = 0 cdot 1 + u22 Rightarrow u22 = 12 e A23 = l21 cdot U13 + u23 Rightarrow -1 = 0 cdot (-1) + u23 Rightarrow u23 = -1 usando a segunda linha de U = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 0 & 0 & u33 :
Agora, fica:

Passo 7

Vamos determinar A32 = l31 cdot U12 + l32 cdot U22 Rightarrow 1 = 2 cdot 1 + l32 cdot 12 usando a terceira linha de 1 = 2 + 12l32 Rightarrow 12l32 = -1 Rightarrow l32 = -112 :
L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -112 & 1
Resolvendo para :
Então, agora é:

Passo 8

Por último, encontramos A33 = l31 cdot U13 + l32 cdot U23 + u33 Rightarrow 1 = 2 cdot (-1) + (-112) cdot (-1) + u33 usando a terceira linha de 1 = -2 + 112 + u33 Rightarrow u33 = 1 + 2 - 112 = 3 - 112 = 3512 :
U = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 0 & 0 & 3512
Calculando:
Então, final é:

Resposta

As matrizes triangulares L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -112 & 1 , U = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 0 & 0 & 3512 e da Decomposição de Doolittle são:

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