Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),
(b) Resolva o sistema linear , em que .
Passo 1
Beleza, pessoal! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. A gente precisa resolver um sistema linear da forma , onde a matriz já está decomposta em (isso significa que foi dividida em duas matrizes: que é triangular inferior, e que é triangular superior). A matriz é:
E o vetor é:
Para resolver isso, vamos usar a decomposição . Primeiro, precisamos entender como essa decomposição ajuda a resolver o sistema. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, lembremos que quando temos , podemos reescrever o sistema como . Vamos chamar de , ou seja, . Então, temos duas etapas:
Resolver para encontrar .
Resolver para encontrar .
Passo 3
Vamos começar resolvendo . Mas espera aí, a gente não sabe exatamente quais são as matrizes e a partir da matriz dada. Normalmente, é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.
No entanto, como a questão não nos dá explicitamente e , vamos supor que a matriz está na forma . Então, vamos identificar e diretamente da matriz :
Passo 4
Agora, vamos resolver . Escrevendo isso:
$$
$$
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo:
Da primeira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, .
Então, o vetor é:
Passo 6
Agora que temos , vamos resolver . Escrevendo isso:
$$
$$
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver essas equações de baixo para cima (porque é triangular superior):