Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),
[ccc 2 & -1 / 2 & 0 4 & 1 & 2 -6 & -1 & 2 ]
(b) Resolva o sistema linear A x=b, em que b=(lll-2 & 14 & 12)^T.

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. A gente precisa resolver um sistema linear da forma A = 2 & -12 & 0 4 & 1 & 2 -6 & -1 & 2 , onde a matriz b = -2 14 12 já está decomposta em (isso significa que foi dividida em duas matrizes: que é triangular inferior, e que é triangular superior). A matriz é:
E o vetor é:
Para resolver isso, vamos usar a decomposição . Primeiro, precisamos entender como essa decomposição ajuda a resolver o sistema. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, lembremos que quando temos , podemos reescrever o sistema como . Vamos chamar de , ou seja, . Então, temos duas etapas:
  1. Resolver para encontrar .
  2. Resolver para encontrar .

Passo 3

Vamos começar resolvendo L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 1 , U = 2 & -12 & 0 0 & 2 & 2 0 & 0 & 2 . Mas espera aí, a gente não sabe exatamente quais são as matrizes e a partir da matriz dada. Normalmente, é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.
No entanto, como a questão não nos dá explicitamente e , vamos supor que a matriz está na forma . Então, vamos identificar e diretamente da matriz :

Passo 4

Agora, vamos resolver 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 1 y1 y2 y3 = -2 14 12 . Escrevendo isso:

$$

$$
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que y = -2 18 -12 .
  2. Substituindo na segunda equação:
    Então, .
  3. Agora, substituindo e na terceira equação:
    Então, .
Então, o vetor é:

Passo 6

Agora que temos 2 & -12 & 0 0 & 2 & 2 0 & 0 & 2 x1 x2 x3 = -2 18 -12 , vamos resolver . Escrevendo isso:

$$

$$
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver essas equações de baixo para cima (porque é triangular superior):
  1. Da terceira equação, temos:
    Então, .
  2. Substituindo na segunda equação:
    Então, , logo .
  3. Agora, substituindo na primeira equação:
    Então, , logo .

Resposta

A solução do sistema x = 2.75 15 -6 é:

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