Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),
(b) Resolva o sistema linear , em que .

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. A gente precisa resolver um sistema linear da forma , onde a matriz já está decomposta em (isso significa que foi dividida em duas matrizes: que é triangular inferior, e que é triangular superior). A matriz é:
E o vetor é:
Para resolver isso, vamos usar a decomposição . Primeiro, precisamos entender como essa decomposição ajuda a resolver o sistema. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, lembremos que quando temos , podemos reescrever o sistema como . Vamos chamar de , ou seja, . Então, temos duas etapas:
  1. Resolver para encontrar .
  2. Resolver para encontrar .

Passo 3

Vamos começar resolvendo . Mas espera aí, a gente não sabe exatamente quais são as matrizes e a partir da matriz dada. Normalmente, é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.
No entanto, como a questão não nos dá explicitamente e , vamos supor que a matriz está na forma . Então, vamos identificar e diretamente da matriz :

Passo 4

Agora, vamos resolver . Escrevendo isso:

$$

$$
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na segunda equação:
    Então, .
  3. Agora, substituindo e na terceira equação:
    Então, .
Então, o vetor é:

Passo 6

Agora que temos , vamos resolver . Escrevendo isso:

$$

$$
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver essas equações de baixo para cima (porque é triangular superior):
  1. Da terceira equação, temos:
    Então, .
  2. Substituindo na segunda equação:
    Então, , logo .
  3. Agora, substituindo na primeira equação:
    Então, , logo .

Resposta

A solução do sistema é:

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