Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
© Qual a ordem em que as variáveis e , seriam encontradas caso utilizemos Gauss com pivotação completa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui! Temos um sistema de equações lineares e queremos descobrir a ordem em que as variáveis e serão resolvidas usando o método de Gauss com pivotação completa. Para isso, vamos precisar entender como funciona a pivotação completa e identificar qual variável será a primeira a ser resolvida, depois a segunda e por fim a terceira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a pivotação completa no método de Gauss. Basicamente, ela consiste em escolher, a cada passo, o maior elemento em valor absoluto da matriz dos coeficientes para ser o pivô. Isso pode envolver trocar tanto as linhas quanto as colunas da matriz, garantindo que estamos sempre trabalhando com o número mais significativo disponível. Isso ajuda a tornar os cálculos mais precisos e evita divisões por números muito pequenos.

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar:
Agora, identificamos os coeficientes das variáveis:

Passo 4

No primeiro passo da pivotação completa, procuramos o maior número em valor absoluto na matriz dos coeficientes. Observando a matriz:
O maior valor absoluto é 12, que está na segunda linha e segunda coluna ( ). Portanto, será a primeira variável a ser resolvida.

Passo 5

Agora que sabemos que é a primeira variável a ser resolvida, vamos eliminar das outras equações para facilitar o próximo passo.
A segunda equação já está isolada para :
Substituímos nas outras equações:
Primeira equação:
Terceira equação:

Passo 6

Simplificando as equações após a substituição:
Primeira equação:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
Terceira equação:
Multiplicando todos os termos por 12:

Passo 7

Agora, temos um sistema reduzido com duas equações:
Para continuar a resolver, precisamos escolher o próximo pivô. Novamente, aplicando a pivotação completa, procuramos o maior valor absoluto nos coeficientes restantes.
Os coeficientes são:
O maior valor absoluto é 24, que está na segunda linha e primeira coluna ( ). Portanto, será a segunda variável a ser resolvida.

Passo 8

Com como o próximo pivô, resolvemos uma das equações para .
Vamos usar a segunda equação do sistema reduzido:
Substituímos na primeira equação:
Simplificando:

Passo 9

Com encontrado, podemos retornar e calcular e :
E, como já tínhamos a expressão para :

Resposta

A ordem em que as variáveis seriam encontradas usando Gauss com pivotação completa é: , e .

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