Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
l x1+x2-x3=0 12 x2-x3=4 2 x1+x2+x3=5
© Qual a ordem em que as variáveis x1, x2 e x3, seriam encontradas caso utilizemos Gauss com pivotação completa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui! Temos um sistema de equações lineares e queremos descobrir a ordem em que as variáveis e serão resolvidas usando o método de Gauss com pivotação completa. Para isso, vamos precisar entender como funciona a pivotação completa e identificar qual variável será a primeira a ser resolvida, depois a segunda e por fim a terceira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a pivotação completa no método de Gauss. Basicamente, ela consiste em escolher, a cada passo, o maior elemento em valor absoluto da matriz dos coeficientes para ser o pivô. Isso pode envolver trocar tanto as linhas quanto as colunas da matriz, garantindo que estamos sempre trabalhando com o número mais significativo disponível. Isso ajuda a tornar os cálculos mais precisos e evita divisões por números muito pequenos.

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar:
x1 + x2 - x3 = 0 0 cdot x1 + 12x2 - x3 = 4 2x1 + x2 + x3 = 5
Agora, identificamos os coeficientes das variáveis:
1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 2 & 1 & 1

Passo 4

No primeiro passo da pivotação completa, procuramos o maior número em valor absoluto na matriz dos coeficientes. Observando a matriz:
O maior valor absoluto é 12, que está na segunda linha e segunda coluna ( ). Portanto, será a primeira variável a ser resolvida.

Passo 5

Agora que sabemos que 12x2 - x3 = 4 Rightarrow x2 = 4 + x312 é a primeira variável a ser resolvida, vamos eliminar x1 + (4 + x312) - x3 = 0 das outras equações para facilitar o próximo passo.
A segunda equação já está isolada para 2x1 + (4 + x312) + x3 = 5 :
Substituímos nas outras equações:
Primeira equação:
Terceira equação:

Passo 6

Simplificando as equações após a substituição:
Primeira equação:
x1 + 4 + x312 - x3 = 0
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
12x1 + 4 + x3 - 12x3 = 0 Rightarrow 12x1 - 11x3 = -4
Terceira equação:
2x1 + 4 + x312 + x3 = 5
Multiplicando todos os termos por 12:
24x1 + 4 + x3 + 12x3 = 60 Rightarrow 24x1 + 13x3 = 56

Passo 7

Agora, temos um sistema reduzido com duas equações:
12x1 - 11x3 = -4 24x1 + 13x3 = 56
Para continuar a resolver, precisamos escolher o próximo pivô. Novamente, aplicando a pivotação completa, procuramos o maior valor absoluto nos coeficientes restantes.
Os coeficientes são:
O maior valor absoluto é 24, que está na segunda linha e primeira coluna ( ). Portanto, será a segunda variável a ser resolvida.

Passo 8

Com 24x1 + 13x3 = 56 Rightarrow x1 = 56 - 13x324 como o próximo pivô, resolvemos uma das equações para 12(56 - 13x324) - 11x3 = -4 .
Vamos usar a segunda equação do sistema reduzido:
672 - 156x324 - 11x3 = -4 Rightarrow 28 - 6.5x3 - 11x3 = -4
Substituímos 28 - 17.5x3 = -4 Rightarrow -17.5x3 = -32 Rightarrow x3 = 3217.5 approx 1,83 na primeira equação:
Simplificando:

Passo 9

Com x1 = 56 - 13(1,83)24 approx 56 - 23,7924 approx 32,2124 approx 1,34 encontrado, podemos retornar e calcular x2 = 4 + 1,8312 approx 5,8312 approx 0,49 e :
E, como já tínhamos a expressão para :

Resposta

A ordem em que as variáveis seriam encontradas usando Gauss com pivotação completa é: , e .

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