Responda verdadeiro ou falso:(f) Existem sistemas lineares que convergem para a solução exata quando qualquer valor real é dado como aproximação inicial em métodos iterativos.

Passo 1

Então, a gente tem essa afirmação: “Existem sistemas lineares que convergem para a solução exata quando qualquer valor real é dado como aproximação inicial em métodos iterativos.” Vamos analisar isso junto com o conteúdo de métodos iterativos para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são sistemas lineares. São equações do tipo , onde é uma matriz, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos independentes. Resolver esse sistema significa encontrar o vetor que satisfaz a equação.

Passo 3

Agora, sobre métodos iterativos: eles começam com uma aproximação inicial para e melhoram essa aproximação em passos sucessivos até chegar perto da solução exata. Exemplos comuns são os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.

Passo 4

A coisa importante aqui é a convergência. Um método iterativo convergente vai se aproximar cada vez mais da solução verdadeira conforme realizamos mais iterações. Mas nem todo método funciona para qualquer sistema ou para qualquer aproximação inicial.

Passo 5

Para que um método iterativo convirja para a solução exata independente da aproximação inicial, a matriz precisa atender a certas condições. Por exemplo, no método de Jacobi, se a matriz for diagonalmente dominante, o método converge para a solução certa, não importa por onde a gente comece.

Passo 6

Então, sim, existem sistemas lineares (como os com matrizes diagonalmente dominantes) onde métodos iterativos específicos vão sempre convergir para a solução exata, não importa qual valor inicial a gente escolha.

Resposta

Verdadeiro.

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