Dado sistema linear
& 4 x-y=3 & 2 x+y=3
Prove que o método iterativo de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial e determine a função de iteração.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem um sistema linear com duas equações:
& 4x - y = 3 & 2x + y = 3
A missão aqui é resolver esse sistema usando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre esse método e descobrir a função que vamos usar para iterar as soluções até chegar perto da resposta exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar as equações para isolar cada variável. No método de Gauss-Seidel, reescrevemos cada equação de forma que uma variável fique em função da outra. Vamos fazer isso passo a passo.
Para a primeira equação:
4x - y = 3 Rightarrow 4x = 3 + y Rightarrow x = 3 + y4
Para a segunda equação:
2x + y = 3 Rightarrow y = 3 - 2x
Agora, temos as equações rearranjadas:
x = 3 + y4 y = 3 - 2x

Passo 3

Com as equações rearranjadas, podemos definir a função de iteração do Gauss-Seidel. Essa função nos ajuda a calcular novos valores para x^(k+1) = 3 + y^(k)4 y^(k+1) = 3 - 2x^(k+1) e baseados nos valores anteriores.
Vamos chamar o -ésimo passo de iteração de e . Então, a próxima iteração será:
Note que, na segunda equação, usamos que já foi atualizado na primeira equação. Isso é uma característica do método Gauss-Seidel, que utiliza os valores mais recentes disponíveis.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a convergência do método. Queremos provar que, independentemente do ponto de partida que a gente escolher, o método vai chegar numa solução correta.
Uma condição comum para garantir a convergência do Gauss-Seidel é que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada linha da matriz, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Nossa matriz de coeficientes é:
4 & -1 2 & 1
Vamos verificar a dominância diagonal:
  • Primeira linha: Verdadeiro.
  • Segunda linha: Falso.
Como nem todas as linhas são diagonalmente dominantes, não podemos afirmar a convergência com essa condição. Mas isso não significa que o m��todo não converge; apenas que precisamos verificar de outra forma.

Passo 5

Outra maneira de verificar a convergência é analisar os valores próprios da matriz de iteração do Gauss-Seidel. Se todos os valores próprios tiverem módulo menor que 1, o método converge.
A matriz de iteração para o Gauss-Seidel é obtida a partir da decomposição da matriz dos coeficientes em , onde é a diagonal, é a parte inferior e é a parte superior.
Após calcular, encontramos que os valores próprios de satisfazem , o que garante que o método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução correta, independentemente do ponto de partida inicial.

Resposta

Então, demonstramos que o método iterativo de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial neste sistema. A função de iteração que vamos usar é:
x^(k+1) = 3 + y^(k)4 y^(k+1) = 3 - 2x^(k+1)

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