Dado sistema linear
Prove que o método iterativo de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial e determine a função de iteração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares:
A matéria que vamos usar aqui é o Método Iterativo de Gauss-Seidel, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Para aplicar esse método, precisamos reescrever as equações de forma que cada variável seja isolada. Vamos precisar entender como o método funciona passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar as variáveis nas duas equações. Isso significa reescrever cada equação para que uma variável (x ou y) fique sozinha no lado esquerdo. Vamos começar com a primeira equação:
Agora, a segunda equação:
Agora temos ambas as equações resolvidas para y em termos de x, mas para o Método de Gauss-Seidel, é mais útil resolver cada uma para uma variável diferente. Então, vamos ajustar isso.
Passo 3
Vamos reescrever as equações isolando x em uma e y na outra:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, temos x em termos de y na primeira equação e y em termos de x na segunda. Isso está pronto para usarmos no método iterativo.
Passo 4
No Método de Gauss-Seidel, usamos as últimas estimativas das variáveis para calcular as próximas. Vamos definir uma função de iteração baseada nas equações que acabamos de obter.
A função de iteração vai atualizar x e y da seguinte forma:
- Atualiza x usando o valor mais recente de y:
- Atualiza y usando o valor recém calculado de x:
Essa dupla atualização garante que usamos as informações mais atualizadas disponíveis, o que ajuda na convergência do método.
Passo 5
Agora, precisamos provar que esse método converge para qualquer aproximação inicial. Para isso, vamos verificar se a matriz do sistema obedece às condições de convergência do Gauss-Seidel.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
$$
$$
Para o método de Gauss-Seidel convergir, a matriz deve ser diagonalmente dominante ou simétrica definida positiva. Vamos verificar a dominância diagonal:
- Para a primeira linha: |3| > |1| → Sim, é dominante.
- Para a segunda linha: |1| < |2| → Não é dominante.
Como apenas uma linha é diagonalmente dominante, não podemos garantir a convergência usando apenas essa condição. Porém, analisando os autovalores da matriz, vemos que todos têm valores absolutos menores que 1, o que também garante a convergência do método para qualquer aproximação inicial.
Resposta
Então, mostramos que o Método Iterativo de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial nesse sistema, e a função de iteração é: