Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, você quer encontrar a equação da reta que está mais pertinho do gráfico de
no intervalo de
. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a achar a melhor aproximação linear minimizando a diferença entre as duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a forma geral da reta que queremos encontrar. Geralmente, uma reta é representada por:
Aqui,
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (onde a reta cruza o eixo y). Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
que fazem essa reta ser a melhor aproximação para
no intervalo dado.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de erro, que mede a diferença entre a função cúbica e a reta que estamos tentando ajustar:
Queremos encontrar os valores de
e
que minimizam essa função de erro.
Passo 4
Vamos expandir o quadrado dentro da integral para facilitar os cálculos:
No entanto, para simplificar, podemos reorganizar os termos:
Mas, na prática, precisamos calcular essa integral completa. Para facilitar, vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Para minimizar
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 6
Vamos calcular as integrais necessárias:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
Com esses valores, podemos montar as equações das derivadas parciais e resolver para
e
.
Resposta
Após resolver o sistema de equações, a equação da reta mais próxima ao gráfico de
no intervalo
é:
Ou seja, a reta é a linha horizontal
.
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Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Demostre convergência do algoritmo iterativo com a função de iteração
. Qual equação resolve este algoritmo?
Dado sistema linear
Prove que o método iterativo de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial e determine a função de iteração.
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