Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo .

Passo 1

Beleza, você quer encontrar a equação da reta que está mais pertinho do gráfico de no intervalo de . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a achar a melhor aproximação linear minimizando a diferença entre as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a forma geral da reta que queremos encontrar. Geralmente, uma reta é representada por:
Aqui, é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (onde a reta cruza o eixo y). Nosso objetivo é descobrir os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo dado.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de erro, que mede a diferença entre a função cúbica e a reta que estamos tentando ajustar:
Queremos encontrar os valores de e que minimizam essa função de erro.

Passo 4

Vamos expandir o quadrado dentro da integral para facilitar os cálculos:
No entanto, para simplificar, podemos reorganizar os termos:
Mas, na prática, precisamos calcular essa integral completa. Para facilitar, vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Para minimizar , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .

Passo 6

Vamos calcular as integrais necessárias:
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Com esses valores, podemos montar as equações das derivadas parciais e resolver para e .

Resposta

Após resolver o sistema de equações, a equação da reta mais próxima ao gráfico de no intervalo é:
Ou seja, a reta é a linha horizontal .

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