Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=x^3-1 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, você quer encontrar a equação da reta que está mais pertinho do gráfico de no intervalo de . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a achar a melhor aproximação linear minimizando a diferença entre as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a forma geral da reta que queremos encontrar. Geralmente, uma reta é representada por:
y = ax + b
Aqui, é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (onde a reta cruza o eixo y). Nosso objetivo é descobrir os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo dado.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de erro, que mede a diferença entre a função cúbica e a reta que estamos tentando ajustar:
E(a, b) = integral-1^1 ( x^3 - 1 - (ax + b) )^2 dx
Queremos encontrar os valores de e que minimizam essa função de erro.

Passo 4

Vamos expandir o quadrado dentro da integral para facilitar os cálculos:
( x^3 - 1 - ax - b )^2 = x^6 + a^2x^2 + b^2 - 2x^3 + 2ax + 2b - 2ax^4 - 2bx^3 + 2abx + dots
No entanto, para simplificar, podemos reorganizar os termos:
( x^3 - 1 - ax - b )^2 = x^6 - 2x^3 + 1 + a^2x^2 + 2ax + b^2 + 2b + termos mistos
Mas, na prática, precisamos calcular essa integral completa. Para facilitar, vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Para minimizar partial Epartial a = 0 e partial Epartial b = 0 , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .

Passo 6

Vamos calcular as integrais necessárias:
  1. Integral de integral-1^1 x^3 dx = 0 (por simetria) :
integral-1^1 x^2 dx = 23
  1. Integral de integral-1^1 x dx = 0 (por simetria) :
integral-1^1 1 dx = 2
  1. Integral de integral-1^1 x^4 dx = 25 :
integral-1^1 (x^3 - 1) dx = -2
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Com esses valores, podemos montar as equações das derivadas parciais e resolver para e .

Resposta

Após resolver o sistema de equações, a equação da reta mais próxima ao gráfico de y = -1 no intervalo é:
Ou seja, a reta é a linha horizontal .

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