Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que fica mais próxima do gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, vamos minimizar a distância entre a reta e a curva nesse intervalo. Precisamos entender um pouco sobre minimização de funções e como ajustar uma reta a uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma reta. Geralmente, a gente escreve assim:
, onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa reta ficar o mais próxima possível da função
no intervalo dado.
Passo 3
Para medir o quão próxima a reta está da curva, usamos o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função e os valores da reta em cada ponto do intervalo. Em termos matemáticos, queremos minimizar:
Passo 4
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar os cálculos:
Expandindo isso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
e
.
Primeiro, a derivada em relação a
:
E a derivada em relação a
:
Passo 6
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Para
:
Expandindo:
Para
:
Expandindo:
Passo 7
Vamos calcular cada uma das integrais necessárias.
Como
é uma função ímpar e o intervalo é simétrico, essa integral será zero.
-
-
-
-
(função ímpar) -
(função ímpar)
Passo 8
Substituindo os valores das integrais nas equações das derivadas:
Para
:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 15 para eliminar denominadores:
Para
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta mais próxima ao gráfico de
no intervalo
é:
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.
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