Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=2-x^3 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que fica mais próxima do gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, vamos minimizar a distância entre a reta e a curva nesse intervalo. Precisamos entender um pouco sobre minimização de funções e como ajustar uma reta a uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma reta. Geralmente, a gente escreve assim: , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ficar o mais próxima possível da função no intervalo dado.

Passo 3

Para medir o quão próxima a reta está da curva, usamos o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função e os valores da reta em cada ponto do intervalo. Em termos matemáticos, queremos minimizar:
integral-1^1 (2 - x^3 - (mx + b))^2 , dx

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar os cálculos:
(2 - x^3 - mx - b)^2 = (2 - b - mx - x^3)^2
Expandindo isso:
(2 - b)^2 + (mx)^2 + (x^3)^2 - 2(2 - b)(mx) - 2(2 - b)x^3 + 2mx cdot x^3
Simplificando:
(2 - b)^2 + m^2x^2 + x^6 - 2m(2 - b)x - 2(2 - b)x^3 + 2m x^4

Passo 5

Agora, para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a partialpartial m integral-1^1 (2 - b - mx - x^3)^2 dx = 0 e partialpartial b integral-1^1 (2 - b - mx - x^3)^2 dx = 0 e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .
Primeiro, a derivada em relação a :
E a derivada em relação a :

Passo 6

Vamos calcular cada derivada separadamente.
Para integral-1^1 2(2 - b - mx - x^3)(-x) , dx = 0 :
-2 integral-1^1 (2 - b)x , dx - 2m integral-1^1 x^2 , dx - 2 integral-1^1 x^4 , dx = 0
Expandindo:
integral-1^1 2(2 - b - mx - x^3)(-1) , dx = 0
Para -2 integral-1^1 (2 - b) , dx - 2m integral-1^1 x , dx - 2 integral-1^1 x^3 , dx = 0 :
Expandindo:

Passo 7

Vamos calcular cada uma das integrais necessárias.
Como é uma função ímpar e o intervalo é simétrico, essa integral será zero.
  1. (função ímpar)
  2. (função ímpar)

Passo 8

Substituindo os valores das integrais nas equações das derivadas:
Para -2 cdot 0 - 2m cdot 23 - 2 cdot 25 = 0 :
-4m3 - 45 = 0
Simplificando:
-20m - 12 = 0 implies 20m = -12 implies m = -1220 = -35
Multiplicando tudo por 15 para eliminar denominadores:
-2 cdot 4(2 - b) - 2m cdot 0 - 2 cdot 0 = 0
Para -8(2 - b) = 0 implies 2 - b = 0 implies b = 2 :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico de y = -35x + 2 no intervalo é:

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