Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que fica mais próxima do gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, vamos minimizar a distância entre a reta e a curva nesse intervalo. Precisamos entender um pouco sobre minimização de funções e como ajustar uma reta a uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma reta. Geralmente, a gente escreve assim: , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ficar o mais próxima possível da função no intervalo dado.

Passo 3

Para medir o quão próxima a reta está da curva, usamos o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função e os valores da reta em cada ponto do intervalo. Em termos matemáticos, queremos minimizar:

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar os cálculos:
Expandindo isso:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .
Primeiro, a derivada em relação a :
E a derivada em relação a :

Passo 6

Vamos calcular cada derivada separadamente.
Para :
Expandindo:
Para :
Expandindo:

Passo 7

Vamos calcular cada uma das integrais necessárias.
Como é uma função ímpar e o intervalo é simétrico, essa integral será zero.
  1. (função ímpar)
  2. (função ímpar)

Passo 8

Substituindo os valores das integrais nas equações das derivadas:
Para :
Simplificando:
Multiplicando tudo por 15 para eliminar denominadores:
Para :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico de no intervalo é:

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