Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando dois métodos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU. O sistema que temos é:
y - z = 4 -2x + y + z = 0 4x - 3y - z = -2
Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, principalmente como manipular equações para encontrar as incógnitas , e .
Passo 2
Eliminação de Gauss é um método que transforma o sistema de equações em uma forma triangular, facilitando a resolução através de substituição. Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira coluna seja diferente de zero para facilitar as operações. No nosso caso, o primeiro elemento já é 0, então vamos trocar a primeira linha com uma das outras que tenha um primeiro termo diferente de zero. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Observamos que a última linha resultou em uma equação , o que é impossível. Isso indica que o sistema não possui solução; é um sistema inconsistente.
Passo 7
Agora, vamos tentar a Fatoração LU para verificar se conseguimos algum resultado. A fatoração LU decompõe a matriz dos coeficientes A = 0 & 1 & -1 -2 & 1 & 1 4 & -3 & -1 em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior .
Matriz :
Passo 8
Montamos L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = 0 & 1 & -1 -2 & 1 & 1 4 & -3 & -1 como uma matriz identidade inicialmente e como uma cópia de :
Passo 9
Calculamos os fatores l21 = -20 (Indefinido) e :
Aqui, vemos que não podemos dividir por zero, o que significa que a fatoração LU não é possível para essa matriz devido à presença de um pivô nulo na primeira posição.
Passo 10
Concluímos que, utilizando Eliminação de Gauss, o sistema é inconsistente e não possui solução. Além disso, a Fatoração LU não foi possível devido a um pivô nulo.
Resposta
O sistema de equações dado não possui solução, pois é inconsistente.