Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando dois métodos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, principalmente como manipular equações para encontrar as incógnitas , e .
Passo 2
Eliminação de Gauss é um método que transforma o sistema de equações em uma forma triangular, facilitando a resolução através de substituição. Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira coluna seja diferente de zero para facilitar as operações. No nosso caso, o primeiro elemento já é 0, então vamos trocar a primeira linha com uma das outras que tenha um primeiro termo diferente de zero. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Passo 4
Agora, vamos tornar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é -2) iguais a zero. Para isso, usamos operações de linha.
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 1:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que é 1 na segunda linha e segunda coluna. Queremos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
A matriz fica:
Passo 6
Observamos que a última linha resultou em uma equação , o que é impossível. Isso indica que o sistema não possui solução; é um sistema inconsistente.
Passo 7
Agora, vamos tentar a Fatoração LU para verificar se conseguimos algum resultado. A fatoração LU decompõe a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior .
Matriz :
Passo 8
Montamos como uma matriz identidade inicialmente e como uma cópia de :
Passo 9
Calculamos os fatores e :
Aqui, vemos que não podemos dividir por zero, o que significa que a fatoração LU não é possível para essa matriz devido à presença de um pivô nulo na primeira posição.
Passo 10
Concluímos que, utilizando Eliminação de Gauss, o sistema é inconsistente e não possui solução. Além disso, a Fatoração LU não foi possível devido a um pivô nulo.
Resposta
O sistema de equações dado não possui solução, pois é inconsistente.