Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
b) cy-z=4 -2 x+y+z=0 4 x-3 y-z=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando dois métodos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU. O sistema que temos é:
y - z = 4 -2x + y + z = 0 4x - 3y - z = -2
Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, principalmente como manipular equações para encontrar as incógnitas , e .

Passo 2

Eliminação de Gauss é um método que transforma o sistema de equações em uma forma triangular, facilitando a resolução através de substituição. Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
0 & 1 & -1 & | & 4 -2 & 1 & 1 & | & 0 4 & -3 & -1 & | & -2

Passo 3

Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira coluna seja diferente de zero para facilitar as operações. No nosso caso, o primeiro elemento já é 0, então vamos trocar a primeira linha com uma das outras que tenha um primeiro termo diferente de zero. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
-2 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 4 4 & -3 & -1 & | & -2

Passo 4

Agora, vamos tornar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é -2) iguais a zero. Para isso, usamos operações de linha.
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 1:
4 + 2*(-2) = 0 -3 + 2*(1) = -1 -1 + 2*(1) = 1 -2 + 2*(0) = -2
A matriz fica:
-2 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 4 0 & -1 & 1 & | & -2

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que é 1 na segunda linha e segunda coluna. Queremos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 1 + (-1) = 0 -2 + 4 = 2
A matriz fica:
-2 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 4 0 & 0 & 0 & | & 2

Passo 6

Observamos que a última linha resultou em uma equação , o que é impossível. Isso indica que o sistema não possui solução; é um sistema inconsistente.

Passo 7

Agora, vamos tentar a Fatoração LU para verificar se conseguimos algum resultado. A fatoração LU decompõe a matriz dos coeficientes A = 0 & 1 & -1 -2 & 1 & 1 4 & -3 & -1 em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior .
Matriz :

Passo 8

Montamos L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = 0 & 1 & -1 -2 & 1 & 1 4 & -3 & -1 como uma matriz identidade inicialmente e como uma cópia de :

Passo 9

Calculamos os fatores l21 = -20 (Indefinido) e :
Aqui, vemos que não podemos dividir por zero, o que significa que a fatoração LU não é possível para essa matriz devido à presença de um pivô nulo na primeira posição.

Passo 10

Concluímos que, utilizando Eliminação de Gauss, o sistema é inconsistente e não possui solução. Além disso, a Fatoração LU não foi possível devido a um pivô nulo.

Resposta

O sistema de equações dado não possui solução, pois é inconsistente.

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