Demonstre que a soma de
matrizes definidas positivas é uma matriz definida positiva. Em seguida, dê um exemplo para
com matrizes de ordem 2 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que se a gente soma n matrizes que são definidas positivas, o resultado dessa soma também vai ser uma matriz definida positiva. Depois, vamos fazer um exemplo específico com n = 3 e matrizes de ordem 2 (ou seja, matrizes 2x2). Para isso, vamos precisar conhecer o que é uma matriz definida positiva e como somar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz definida positiva. Uma matriz quadrada
de ordem
é definida positiva se, para todo vetor não nulo
em
, a expressão
é maior que zero. Em outras palavras,
é definida positiva se:
Passo 3
Agora, vamos provar que a soma de n matrizes definidas positivas também é definida positiva. Vamos chamar essas matrizes de
. Queremos mostrar que a matriz
também é definida positiva.
Considerando um vetor qualquer
, vamos calcular
:
Como cada
é definida positiva, sabemos que cada termo
. A soma de números positivos é positiva, então:
Portanto,
é uma matriz definida positiva.
Passo 4
Agora, vamos fazer um exemplo com n = 3 e matrizes de ordem 2. Vou escolher três matrizes 2x2 definidas positivas:
Vamos verificar se cada uma é definida positiva:
-
Para
: - Os autovalores são
e , ambos positivos.
- Os autovalores são
-
Para
: - É uma matriz diagonal com elementos positivos, então é definida positiva.
-
Para
: - O determinante é
e a entrada , então é definida positiva.
- O determinante é
Agora, vamos somar as três matrizes:
Vamos verificar se
é definida positiva:
- Os autovalores de
são e , ambos positivos.
Então,
é uma matriz definida positiva.
Resposta
A soma de n matrizes definidas positivas é também uma matriz definida positiva. No exemplo com n = 3 e matrizes de ordem 2, a soma das matrizes
,
e
resulta na matriz
, que é definida positiva.