Demonstre que a soma de n matrizes definidas positivas é uma matriz definida positiva. Em seguida, dê um exemplo para n=3 com matrizes de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que se a gente soma n matrizes que são definidas positivas, o resultado dessa soma também vai ser uma matriz definida positiva. Depois, vamos fazer um exemplo específico com n = 3 e matrizes de ordem 2 (ou seja, matrizes 2x2). Para isso, vamos precisar conhecer o que é uma matriz definida positiva e como somar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz definida positiva. Uma matriz quadrada x^T A x > 0 para todo x neq 0 de ordem é definida positiva se, para todo vetor não nulo em , a expressão é maior que zero. Em outras palavras, é definida positiva se:

Passo 3

Agora, vamos provar que a soma de n matrizes definidas positivas também é definida positiva. Vamos chamar essas matrizes de x^T S x = x^T (A1 + A2 + dots + An) x = x^T A1 x + x^T A2 x + dots + x^T An x . Queremos mostrar que a matriz x^T S x > 0 também é definida positiva.
Considerando um vetor qualquer , vamos calcular :
Como cada é definida positiva, sabemos que cada termo . A soma de números positivos é positiva, então:
Portanto, é uma matriz definida positiva.

Passo 4

Agora, vamos fazer um exemplo com n = 3 e matrizes de ordem 2. Vou escolher três matrizes 2x2 definidas positivas:
A1 = 2 & 1 1 & 2 , A2 = 3 & 0 0 & 3 , A3 = 1 & -0.5 -0.5 & 1
Vamos verificar se cada uma é definida positiva:
  • Para S = A1 + A2 + A3 = 2 & 1 1 & 2 + 3 & 0 0 & 3 + 1 & -0.5 -0.5 & 1 = 6 & 0.5 0.5 & 6 :
    • Os autovalores são e , ambos positivos.
  • Para :
    • É uma matriz diagonal com elementos positivos, então é definida positiva.
  • Para :
    • O determinante é e a entrada , então é definida positiva.
Agora, vamos somar as três matrizes:
Vamos verificar se é definida positiva:
  • Os autovalores de são e , ambos positivos.
Então, é uma matriz definida positiva.

Resposta

A soma de n matrizes definidas positivas é também uma matriz definida positiva. No exemplo com n = 3 e matrizes de ordem 2, a soma das matrizes 6 & 0.5 0.5 & 6 , e resulta na matriz , que é definida positiva.

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