Demonstre que a soma de matrizes definidas positivas é uma matriz definida positiva. Em seguida, dê um exemplo para com matrizes de ordem 2 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que se a gente soma n matrizes que são definidas positivas, o resultado dessa soma também vai ser uma matriz definida positiva. Depois, vamos fazer um exemplo específico com n = 3 e matrizes de ordem 2 (ou seja, matrizes 2x2). Para isso, vamos precisar conhecer o que é uma matriz definida positiva e como somar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz definida positiva. Uma matriz quadrada de ordem é definida positiva se, para todo vetor não nulo em , a expressão é maior que zero. Em outras palavras, é definida positiva se:
Passo 3
Agora, vamos provar que a soma de n matrizes definidas positivas também é definida positiva. Vamos chamar essas matrizes de . Queremos mostrar que a matriz também é definida positiva.
Considerando um vetor qualquer , vamos calcular :
Como cada é definida positiva, sabemos que cada termo . A soma de números positivos é positiva, então:
Portanto, é uma matriz definida positiva.
Passo 4
Agora, vamos fazer um exemplo com n = 3 e matrizes de ordem 2. Vou escolher três matrizes 2x2 definidas positivas:
Vamos verificar se cada uma é definida positiva:
Para :
Os autovalores são e , ambos positivos.
Para :
É uma matriz diagonal com elementos positivos, então é definida positiva.
Para :
O determinante é e a entrada , então é definida positiva.
Agora, vamos somar as três matrizes:
Vamos verificar se é definida positiva:
Os autovalores de são e , ambos positivos.
Então, é uma matriz definida positiva.
Resposta
A soma de n matrizes definidas positivas é também uma matriz definida positiva. No exemplo com n = 3 e matrizes de ordem 2, a soma das matrizes , e resulta na matriz , que é definida positiva.