Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações pra resolver usando dois métodos: eliminação de Gauss e fatoração LU. O sistema que vamos resolver é:
Aqui, estamos lidando com equações lineares, e vamos precisar manipular essas equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema usando a eliminação de Gauss. Esse método consiste em transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução.
Começamos escrevendo o sistema como uma matriz aumentada:

Passo 3

Nosso objetivo é ter 1 no primeiro elemento (chamado de pivô). Podemos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o das linhas 2 e 3. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Aplicando:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter 1 como pivô na segunda linha. Podemos multiplicar a segunda linha por :

Passo 6

Vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, fazemos:
Calculando:

Passo 7

Agora, temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:

Passo 8

Substituímos na segunda linha para encontrar :
Calculando:

Passo 9

Por fim, substituímos e na primeira linha para encontrar :
Calculando:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Demonstre que a soma de matrizes definidas positivas é uma matriz definida positiva. Em seguida, dê um exemplo para com matrizes de ordem 2 .
Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
b)
Utilizando a questão anterior, prove que , sendo que .
Exemplifique com uma matriz de ordem 3 a situação em que admite fatoração LU, porém, os fatores L e U não são únicos.