Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações pra resolver usando dois métodos: eliminação de Gauss e fatoração LU. O sistema que vamos resolver é:
Aqui, estamos lidando com equações lineares, e vamos precisar manipular essas equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema usando a eliminação de Gauss. Esse método consiste em transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução.
Começamos escrevendo o sistema como uma matriz aumentada:
Passo 3
Nosso objetivo é ter 1 no primeiro elemento (chamado de pivô). Podemos dividir a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o das linhas 2 e 3. Para isso:
Linha 2:
Linha 3:
Aplicando:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter 1 como pivô na segunda linha. Podemos multiplicar a segunda linha por :
Passo 6
Vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, fazemos:
Calculando:
Passo 7
Agora, temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
Passo 8
Substituímos na segunda linha para encontrar :
Calculando:
Passo 9
Por fim, substituímos e na primeira linha para encontrar :