Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
a) c2 x-2 y+3 z= -3 x+4 z=5 x+3 y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações pra resolver usando dois métodos: eliminação de Gauss e fatoração LU. O sistema que vamos resolver é:
2x - 2y + 3z = 0 -3x + 4z = 5 x + 3y = 1
Aqui, estamos lidando com equações lineares, e vamos precisar manipular essas equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema usando a eliminação de Gauss. Esse método consiste em transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução.
Começamos escrevendo o sistema como uma matriz aumentada:
2 & -2 & 3 & | & 0 -3 & 0 & 4 & | & 5 1 & 3 & 0 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é ter 1 no primeiro elemento (chamado de pivô). Podemos dividir a primeira linha por 2:
1 & -1 & 1.5 & | & 0 -3 & 0 & 4 & | & 5 1 & 3 & 0 & | & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & -1 & 1.5 & | & 0 0 & -3 & 8.5 & | & 5 0 & 4 & -1.5 & | & 1 das linhas 2 e 3. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Aplicando:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter 1 como pivô na segunda linha. Podemos multiplicar a segunda linha por 1 & -1 & 1.5 & | & 0 0 & 1 & -8.53 & | & -53 0 & 4 & -1.5 & | & 1 :

Passo 6

Vamos eliminar o Linha3 - 4 times Linha2 da terceira linha. Para isso, fazemos:
1 & -1 & 1.5 & | & 0 0 & 1 & -8.53 & | & -53 0 & 0 & 253 & | & 173
Calculando:

Passo 7

Agora, temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
253 z = 173 implies z = 1725

Passo 8

Substituímos y - 8.53 times 1725 = -53 na segunda linha para encontrar y = -53 + 8.5 times 1775 = -53 + 144.575 = -53 + 289150 = -250 + 289150 = 39150 = 1350 :
Calculando:

Passo 9

Por fim, substituímos x - y + 1.5 z = 0 e x - 1350 + 1.5 times 1725 = 0 na primeira linha para encontrar x = 1350 - 25.525 = 1350 - 1.02 = 1350 - 5150 = -3850 = -1925 :
Calculando:

Resposta

A solução do sistema é:
boxed x = -1925, y = 1350, z = 1725

Exercícios relacionados