Utilizando a questão anterior, prove que , sendo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que , sabendo que . Isso está relacionado ao estudo de matrizes e suas propriedades, especificamente a matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz inversa e como ela se relaciona com o produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz inversa. Uma matriz invertível tem uma matriz inversa que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade . Ou seja:

Passo 3

Na questão, é dado que . Isso significa que a matriz inversa de é ela mesma. Então, podemos substituir por na equação acima:

Passo 4

Multiplicando por , temos:
Isso mostra que a matriz ao quadrado resulta na matriz identidade .

Resposta

Assim, provamos que quando .

Exercícios relacionados

Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
a)
Demonstre que a soma de matrizes definidas positivas é uma matriz definida positiva. Em seguida, dê um exemplo para com matrizes de ordem 2 .
Exemplifique com uma matriz de ordem 3 a situação em que admite fatoração LU, porém, os fatores L e U não são únicos.
Mostre que a fatoração de uma matriz pode evoluir para a fatoração , onde a matriz é uma matriz diagonal de elementos . Em seguida, elabore um exemplo da situação elencada.