Utilizando a questão anterior, prove que P^2=I, sendo que P=P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que , sabendo que . Isso está relacionado ao estudo de matrizes e suas propriedades, especificamente a matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz inversa e como ela se relaciona com o produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz inversa. Uma matriz P cdot P^-1 = I invertível tem uma matriz inversa que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade . Ou seja:

Passo 3

Na questão, é dado que P cdot P = I . Isso significa que a matriz inversa de é ela mesma. Então, podemos substituir por na equação acima:

Passo 4

Multiplicando P^2 = I por , temos:
Isso mostra que a matriz ao quadrado resulta na matriz identidade .

Resposta

Assim, provamos que quando .

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