Dados:
0.1 0.905
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
0.8 0.449
1.0 0.210
1.2 0.320
1.4 0.480
1.7 0.560
1.8 0.780
0.9 0.407
Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômio interpolador de grau 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com valores de e e precisa encontrar o valor aproximado de tal que . Para resolver isso, vamos usar um polinômio interpolador de grau 2. Ou seja, vamos ajustar um polinômio quadrático aos seus dados para estimar o valor que buscamos. Precisaremos entender um pouco sobre interpolação e como aplicar um polinômio de segundo grau para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos na tabela que estão próximos de . Olhando os dados:
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
Perceba que está entre e . Vamos usar esses três pontos para construir nosso polinômio interpolador de grau 2, que tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que passam por esses três pontos.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações substituindo cada par no polinômio:
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
Vamos simplificar essas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar :
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
çã
Subtraindo a equação 1 da equação 3:
çã

Passo 5

Vamos resolver as equações 4 e 5 para encontrar e . Podemos multiplicar a equação 4 por 2 para facilitar:
Equação 4 multiplicada por 2:
çã
Agora, subtraia a equação 6 da equação 5:
Agora que temos , substituímos na equação 4 para encontrar :

Passo 6

Com e encontrados, podemos determinar usando a equação 1:

Passo 7

Agora temos o polinômio interpolador de grau 2:
Queremos encontrar tal que :

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Agora, calculando as raízes:
Isso dá duas soluções:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de que satisfaz é aproximadamente 0.51.

Exercícios relacionados

Sejam uma função contínua e pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida , com , para escrever .
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
(b) Delimite o erro para no intervalo , sendo o polinômio obtido no item (a).
Desejamos aproximar o valor de por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de nos pontos e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,