Dados:
w f(w)
0.1 0.905
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
0.8 0.449
1.0 0.210
1.2 0.320
1.4 0.480
1.7 0.560
1.8 0.780
0.9 0.407
Calcule o valor aproximado de x tal que f(g(x))=0.6, usando polinômio interpolador de grau 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com valores de e e precisa encontrar o valor aproximado de tal que . Para resolver isso, vamos usar um polinômio interpolador de grau 2. Ou seja, vamos ajustar um polinômio quadrático aos seus dados para estimar o valor que buscamos. Precisaremos entender um pouco sobre interpolação e como aplicar um polinômio de segundo grau para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos na tabela que estão próximos de P(w) = aw^2 + bw + c . Olhando os dados:
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
Perceba que está entre e . Vamos usar esses três pontos para construir nosso polinômio interpolador de grau 2, que tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que passam por esses três pontos.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações substituindo cada par a(0.2)^2 + b(0.2) + c = 0.819 no polinômio:
  1. Para a(0.4)^2 + b(0.4) + c = 0.670 , a(0.6)^2 + b(0.6) + c = 0.549 :
  1. Para , :
  1. Para , :
Vamos simplificar essas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar (0.16a - 0.04a) + (0.4b - 0.2b) = 0.670 - 0.819 :
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
0.12a + 0.2b = -0.149 (Equação 4)
(0.36a - 0.04a) + (0.6b - 0.2b) = 0.549 - 0.819 çã
Subtraindo a equação 1 da equação 3:
0.32a + 0.4b = -0.270 (Equação 5)
çã

Passo 5

Vamos resolver as equações 4 e 5 para encontrar 0.24a + 0.4b = -0.298 (Equação 6) e (0.32a - 0.24a) + (0.4b - 0.4b) = -0.270 - (-0.298) . Podemos multiplicar a equação 4 por 2 para facilitar:
Equação 4 multiplicada por 2:
0.08a = 0.028 çã
Agora, subtraia a equação 6 da equação 5:
a = 0.0280.08 = 0.35
0.12(0.35) + 0.2b = -0.149
0.042 + 0.2b = -0.149
Agora que temos 0.2b = -0.149 - 0.042 = -0.191 , substituímos na equação 4 para encontrar b = -0.1910.2 = -0.955 :

Passo 6

Com 0.04(0.35) + 0.2(-0.955) + c = 0.819 e 0.014 + (-0.191) + c = 0.819 encontrados, podemos determinar -0.177 + c = 0.819 usando a equação 1:
c = 0.819 + 0.177 = 0.996

Passo 7

Agora temos o polinômio interpolador de grau 2:
P(w) = 0.35w^2 - 0.955w + 0.996
Queremos encontrar 0.35w^2 - 0.955w + 0.996 = 0.6 tal que 0.35w^2 - 0.955w + 0.396 = 0 :

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
w = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, w = 0.955 pm raiz0.3576250.7 = 0.955 pm 0.5980.7 , e w1 = 0.955 + 0.5980.7 = 1.5530.7 approx 2.218 .
Calculando o discriminante:
w2 = 0.955 - 0.5980.7 = 0.3570.7 approx 0.510
Agora, calculando as raízes:
Isso dá duas soluções:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de que satisfaz é aproximadamente 0.51.

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