Dados:
|
|
---|---|
0.1 | 0.905 |
0.2 | 0.819 |
0.4 | 0.670 |
0.6 | 0.549 |
0.8 | 0.449 |
1.0 | 0.210 |
1.2 | 0.320 |
1.4 | 0.480 |
1.7 | 0.560 |
1.8 | 0.780 |
0.9 | 0.407 |
Calcule o valor aproximado de
tal que
, usando polinômio interpolador de grau 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com valores de
e
e precisa encontrar o valor aproximado de
tal que
. Para resolver isso, vamos usar um polinômio interpolador de grau 2. Ou seja, vamos ajustar um polinômio quadrático aos seus dados para estimar o valor que buscamos. Precisaremos entender um pouco sobre interpolação e como aplicar um polinômio de segundo grau para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos na tabela que estão próximos de
. Olhando os dados:
|
|
---|---|
0.2 | 0.819 |
0.4 | 0.670 |
0.6 | 0.549 |
Perceba que
está entre
e
. Vamos usar esses três pontos para construir nosso polinômio interpolador de grau 2, que tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
que passam por esses três pontos.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações substituindo cada par
no polinômio:
- Para
, :
- Para
, :
- Para
, :
Vamos simplificar essas equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar
:
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
Subtraindo a equação 1 da equação 3:
Passo 5
Vamos resolver as equações 4 e 5 para encontrar
e
. Podemos multiplicar a equação 4 por 2 para facilitar:
Equação 4 multiplicada por 2:
Agora, subtraia a equação 6 da equação 5:
Agora que temos
, substituímos na equação 4 para encontrar
:
Passo 6
Com
e
encontrados, podemos determinar
usando a equação 1:
Passo 7
Agora temos o polinômio interpolador de grau 2:
Queremos encontrar
tal que
:
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Agora, calculando as raízes:
Isso dá duas soluções:
Resposta
Portanto, o valor aproximado de
que satisfaz
é aproximadamente 0.51.
Exercícios relacionados
Sejam
uma função contínua e
pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida , com
, para escrever
.
(a) Utilize a diferença dividida
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
(b) Delimite o erro
para
no intervalo
, sendo
o polinômio obtido no item (a).
Desejamos aproximar o valor de
por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de
nos pontos
e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,