Sejam
uma função contínua e
pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida
, com
, para escrever
.
(a) Utilize a diferença dividida
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a diferença dividida
para escrever a função
de uma forma específica. Vamos precisar entender o que é diferença dividida e como ela ajuda a representar a função
. Então, vamos começar descomplicando isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que aparecem na Interpolação de Newton, que ajuda a aproximar funções usando polinômios.
A diferença dividida de dois pontos
e
é definida por:
Aqui,
representa a inclinação da reta que passa pelos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Em seguida, vamos trazer
para o outro lado da equação:
Passo 5
Perceba que
é a mesma coisa que
na notação de diferença dividida quando temos apenas um ponto. Portanto, podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Resposta
Portanto, utilizando a diferença dividida, a função
pode ser escrita como:
Exercícios relacionados
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
Dados:
|
|
---|---|
0.1 | 0.905 |
0.2 | 0.819 |
0.4 | 0.670 |
0.6 | 0.549 |
0.8 | 0.449 |
1.0 | 0.210 |
1.2 | 0.320 |
1.4 | 0.480 |
1.7 | 0.560 |
1.8 | 0.780 |
0.9 | 0.407 |
Calcule o valor aproximado de
tal que
, usando polinômio interpolador de grau 2 .
(b) Delimite o erro
para
no intervalo
, sendo
o polinômio obtido no item (a).