Sejam uma função contínua e pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida , com , para escrever .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a diferença dividida para escrever a função de uma forma específica. Vamos precisar entender o que é diferença dividida e como ela ajuda a representar a função . Então, vamos começar descomplicando isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que aparecem na Interpolação de Newton, que ajuda a aproximar funções usando polinômios.
A diferença dividida de dois pontos e é definida por:
Aqui, representa a inclinação da reta que passa pelos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar . Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Em seguida, vamos trazer para o outro lado da equação:

Passo 5

Perceba que é a mesma coisa que na notação de diferença dividida quando temos apenas um ponto. Portanto, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

Resposta

Portanto, utilizando a diferença dividida, a função pode ser escrita como:

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Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
Dados:
0.1 0.905
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
0.8 0.449
1.0 0.210
1.2 0.320
1.4 0.480
1.7 0.560
1.8 0.780
0.9 0.407
Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômio interpolador de grau 2 .
(b) Delimite o erro para no intervalo , sendo o polinômio obtido no item (a).