Sejam y=f(x) uma função contínua e x0, x1, ldots, xn, n+1 pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida f[y0, y], com x neq x0, para escrever f(x)=f[y0]+(x-x0) f[y0, y].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a diferença dividida para escrever a função de uma forma específica. Vamos precisar entender o que é diferença dividida e como ela ajuda a representar a função . Então, vamos começar descomplicando isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que aparecem na Interpolação de Newton, que ajuda a aproximar funções usando polinômios.
A diferença dividida de dois pontos f[y0, y] = f(x) - f(x0)x - x0 e é definida por:
Aqui, representa a inclinação da reta que passa pelos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar f[y0, y] cdot (x - x0) = f(x) - f(x0) . Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Em seguida, vamos trazer f(x) = f(x0) + (x - x0) cdot f[y0, y] para o outro lado da equação:

Passo 5

Perceba que f(x) = f[y0] + (x - x0) cdot f[y0, y] é a mesma coisa que na notação de diferença dividida quando temos apenas um ponto. Portanto, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

Resposta

Portanto, utilizando a diferença dividida, a função f(x) = f[y0] + (x - x0) cdot f[y0, y] pode ser escrita como:

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