(b) Delimite o erro E(x)=sin (x)-p3(x) para x no intervalo [0,1], sendo p3(x) o polinômio obtido no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que delimitar o erro no intervalo . Aqui, é o polinômio de Taylor de grau 3 para a função seno que a gente obteve na parte (a). Vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e estimativa de erros para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar qual é o polinômio p3(x) = x - x^36 para . O polinômio de Taylor de grau 3 para centrado em 0 é dado por:

Passo 3

Queremos encontrar o erro . Para delimitar esse erro, vamos usar o Teorema do Resto de Taylor, que nos dá uma forma de estimar a diferença entre a função original e o polinômio de Taylor.

Passo 4

O Teorema do Resto de Taylor nos diz que, para algum E(x) = f^(4)(xi)4! x^4 entre 0 e f^(4)(x) = sin(x) :
No caso da função , a quarta derivada é:

Passo 5

Como |E(x)| <= |sin(xi)|24 x^4 <= 124 x^4 para qualquer , podemos estimar o módulo do erro:

Passo 6

No intervalo |E(x)| <= 124 , o valor de é no máximo 1. Portanto, a maior estimativa para o erro é:

Resposta

O erro é limitado por no intervalo .

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