(b) Delimite o erro para no intervalo , sendo o polinômio obtido no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que delimitar o erro no intervalo . Aqui, é o polinômio de Taylor de grau 3 para a função seno que a gente obteve na parte (a). Vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e estimativa de erros para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar qual é o polinômio para . O polinômio de Taylor de grau 3 para centrado em 0 é dado por:

Passo 3

Queremos encontrar o erro . Para delimitar esse erro, vamos usar o **Teorema do Resto de Taylor**, que nos dá uma forma de estimar a diferença entre a função original e o polinômio de Taylor.

Passo 4

O Teorema do Resto de Taylor nos diz que, para algum entre 0 e : No caso da função , a quarta derivada é:

Passo 5

Como para qualquer , podemos estimar o módulo do erro:

Passo 6

No intervalo , o valor de é no máximo 1. Portanto, a maior estimativa para o erro é:

Resposta

O erro é limitado por no intervalo .

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Dados: | | | | :---: | :---: | | 0.1 | 0.905 | | 0.2 | 0.819 | | 0.4 | 0.670 | | 0.6 | 0.549 | | 0.8 | 0.449 | | 1.0 | 0.210 | | 1.2 | 0.320 | | 1.4 | 0.480 | | 1.7 | 0.560 | | 1.8 | 0.780 | | 0.9 | 0.407 | Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômio interpolador de grau 2 .
Sejam uma função contínua e pontos distintos em seu domínio. (a) Utilize a diferença dividida , com , para escrever .
Desejamos aproximar o valor de por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de nos pontos e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
Suspeita-se que a tabela: | | | | :---: | :---: | | -3.0 | -9.0 | | -2.0 | 0.0 | | -1.0 | 1.0 | | 0.0 | 0.0 | | 1.0 | 3.0 | | 2.0 | 16.0 | represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.