(b) Delimite o erro para no intervalo , sendo o polinômio obtido no item (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que delimitar o erro no intervalo . Aqui, é o polinômio de Taylor de grau 3 para a função seno que a gente obteve na parte (a). Vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e estimativa de erros para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar qual é o polinômio para . O polinômio de Taylor de grau 3 para centrado em 0 é dado por:
Passo 3
Queremos encontrar o erro . Para delimitar esse erro, vamos usar o **Teorema do Resto de Taylor**, que nos dá uma forma de estimar a diferença entre a função original e o polinômio de Taylor.
Passo 4
O Teorema do Resto de Taylor nos diz que, para algum entre 0 e :
No caso da função , a quarta derivada é:
Passo 5
Como para qualquer , podemos estimar o módulo do erro:
Passo 6
No intervalo , o valor de é no máximo 1. Portanto, a maior estimativa para o erro é:
Resposta
O erro é limitado por no intervalo .
Exercícios relacionados
Dados:
| | |
| :---: | :---: |
| 0.1 | 0.905 |
| 0.2 | 0.819 |
| 0.4 | 0.670 |
| 0.6 | 0.549 |
| 0.8 | 0.449 |
| 1.0 | 0.210 |
| 1.2 | 0.320 |
| 1.4 | 0.480 |
| 1.7 | 0.560 |
| 1.8 | 0.780 |
| 0.9 | 0.407 |
Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômio interpolador de grau 2 .
Sejam uma função contínua e pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida , com , para escrever .
Desejamos aproximar o valor de por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de nos pontos e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
Suspeita-se que a tabela:
| | |
| :---: | :---: |
| -3.0 | -9.0 |
| -2.0 | 0.0 |
| -1.0 | 1.0 |
| 0.0 | 0.0 |
| 1.0 | 3.0 |
| 2.0 | 16.0 |
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.