(b) Delimite o erro
para
no intervalo
, sendo
o polinômio obtido no item (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que delimitar o erro
no intervalo
. Aqui,
é o polinômio de Taylor de grau 3 para a função seno que a gente obteve na parte (a). Vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e estimativa de erros para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar qual é o polinômio
para
. O polinômio de Taylor de grau 3 para
centrado em 0 é dado por:
Passo 3
Queremos encontrar o erro
. Para delimitar esse erro, vamos usar o Teorema do Resto de Taylor, que nos dá uma forma de estimar a diferença entre a função original e o polinômio de Taylor.
Passo 4
O Teorema do Resto de Taylor nos diz que, para algum
entre 0 e
:
No caso da função
, a quarta derivada é:
Passo 5
Como
para qualquer
, podemos estimar o módulo do erro:
Passo 6
No intervalo
, o valor de
é no máximo 1. Portanto, a maior estimativa para o erro é:
Resposta
O erro é limitado por
no intervalo
.