Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para calcular o polinômio interpolador cúbico de
usando diferenças divididas nos pontos
,
,
e
. Isso significa que vamos encontrar um polinômio de grau 3 que passa por esses quatro pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma tabela com os valores de
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas são uma maneira de encontrar os coeficientes do polinômio interpolador. Começamos com a primeira coluna de diferenças, que são os próprios valores de
.
Primeira diferença:
Segunda diferença:
E assim por diante para as diferenças de ordem superior.
Passo 4
Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo:
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Quarta coluna:
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o polinômio:
Podemos deixar dessa forma ou expandir os termos para obter uma expressão mais simplificada, mas geralmente essa forma já é suficiente para representar o polinômio interpolador.
Resposta
O polinômio interpolador cúbico de
nos pontos
,
,
e
é: