Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para calcular o polinômio interpolador cúbico de usando diferenças divididas nos pontos , , e . Isso significa que vamos encontrar um polinômio de grau 3 que passa por esses quatro pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma tabela com os valores de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas são uma maneira de encontrar os coeficientes do polinômio interpolador. Começamos com a primeira coluna de diferenças, que são os próprios valores de .
Primeira diferença:
Segunda diferença:
E assim por diante para as diferenças de ordem superior.

Passo 4

Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo:
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Quarta coluna:

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar o polinômio:
Podemos deixar dessa forma ou expandir os termos para obter uma expressão mais simplificada, mas geralmente essa forma já é suficiente para representar o polinômio interpolador.

Resposta

O polinômio interpolador cúbico de nos pontos , , e é:

Exercícios relacionados

Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para , com relação aos pontos de interpolação (exiba os cálculos).
Sejam uma função contínua e pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida , com , para escrever .
Dados:
0.1 0.905
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
0.8 0.449
1.0 0.210
1.2 0.320
1.4 0.480
1.7 0.560
1.8 0.780
0.9 0.407
Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômio interpolador de grau 2 .