Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de log 2(x),
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para calcular o polinômio interpolador cúbico de usando diferenças divididas nos pontos , , e . Isso significa que vamos encontrar um polinômio de grau 3 que passa por esses quatro pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma tabela com os valores de c|c x & f(x) hline 1 & log2(1) = 0 2 & log2(2) = 1 4 & log2(4) = 2 8 & log2(8) = 3 e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas são uma maneira de encontrar os coeficientes do polinômio interpolador. Começamos com a primeira coluna de diferenças, que são os próprios valores de f[xi] = f(xi) .
Primeira diferença:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Segunda diferença:
E assim por diante para as diferenças de ordem superior.

Passo 4

Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo:
Primeira coluna:
c|c x & f[x] hline 1 & 0 2 & 1 4 & 2 8 & 3
Segunda coluna:
f[x0, x1] = 1 - 02 - 1 = 1 f[x1, x2] = 2 - 14 - 2 = 12 f[x2, x3] = 3 - 28 - 4 = 14
Terceira coluna:
f[x0, x1, x2] = 12 - 14 - 1 = -123 = -16 f[x1, x2, x3] = 14 - 128 - 2 = -146 = -124
Quarta coluna:
f[x0, x1, x2, x3] = -124 - (-16)8 - 1 = 16 - 1247 = 424 - 1247 = 3247 = 156

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador usando a fórmula:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores que encontramos:
P(x) = 0 + 1(x - 1) + (-16)(x - 1)(x - 2) + 156(x - 1)(x - 2)(x - 4)

Passo 6

Vamos simplificar o polinômio:
P(x) = (x - 1) - 16(x - 1)(x - 2) + 156(x - 1)(x - 2)(x - 4)
Podemos deixar dessa forma ou expandir os termos para obter uma expressão mais simplificada, mas geralmente essa forma já é suficiente para representar o polinômio interpolador.

Resposta

O polinômio interpolador cúbico de P(x) = (x - 1) - 16(x - 1)(x - 2) + 156(x - 1)(x - 2)(x - 4) nos pontos , , e é:

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