Dados a, b, c, d in R, considere o sistema linear
l x(x+y+x)=a^2 y(x+y+x)=b^2 z(x+y+x)=c^2
Determine a solução de (S) em função de a, b e c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e , onde cada equação relaciona essas variáveis com os quadrados de , e . O objetivo é encontrar os valores de , e em função de , e .

Passo 2

Vamos analisar as equações do sistema:
x(x + y + x) = a^2 y(x + y + x) = b^2 z(x + y + x) = c^2
Perceba que em todas as equações, o termo x + y + x = 2x + y aparece. Simplificando x(2x + y) = a^2 y(2x + y) = b^2 z(2x + y) = c^2 , temos:
Então, o sistema fica:

Passo 3

Note que t = 2x + y é um termo comum nas três equações. Vamos chamar esse termo de x cdot t = a^2 y cdot t = b^2 z cdot t = c^2 :
Agora, podemos reescrever o sistema em termos de :

Passo 4

A partir dessas equações, podemos expressar x = a^2t y = b^2t z = c^2t , e em função de :

Passo 5

Lembre que definimos t = 2(a^2t) + (b^2t) t = 2a^2 + b^2t . Substituindo as expressões de e em termos de :

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por t cdot t = 2a^2 + b^2 t^2 = 2a^2 + b^2 para eliminar o denominador:
t = raiz2a^2 + b^2
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Agora que encontramos x = a^2raiz2a^2 + b^2 y = b^2raiz2a^2 + b^2 z = c^2raiz2a^2 + b^2 , podemos substituir de volta nas expressões de , e :

Resposta

A solução do sistema é:
x = dfraca^2raiz2a^2 + b^2 y = dfracb^2raiz2a^2 + b^2 z = dfracc^2raiz2a^2 + b^2

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