Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss.
-x+2 y+z+k & =1 4 x+y-z-5 k & =0 x-y-2 z & =-2 x-y+10 z-9 k & =11.

Passo 1

Vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Gauss. Esse método nos ajuda a encontrar os valores das variáveis , , e eliminando uma variável de cada vez. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações nas linhas para simplificar o sistema até encontrarmos as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
-1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 4 & 1 & -1 & -5 & | & 0 1 & -1 & -2 & 0 & | & -2 1 & -1 & 10 & -9 & | & 11

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal haja apenas zeros. Começamos pelo elemento 1 & -2 & -1 & -1 & | & -1 4 & 1 & -1 & -5 & | & 0 1 & -1 & -2 & 0 & | & -2 1 & -1 & 10 & -9 & | & 11 na primeira linha e primeira coluna. Podemos multiplicar a primeira linha por para facilitar os cálculos:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (número 1 na primeira coluna da primeira linha). Para isso:
  • Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraia 1 vez a primeira linha da terceira linha.
  • Subtraia 1 vez a primeira linha da quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & -2 & -1 & -1 & | & -1 0 & 9 & 3 & -1 & | & 4 0 & 1 & -1 & 1 & | & -1 0 & 1 & 11 & -8 & | & 12

Passo 5

Agora, focamos no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (número 9). Vamos eliminar os elementos abaixo dele:
  • Subtraia 1 & -2 & -1 & -1 & | & -1 0 & 9 & 3 & -1 & | & 4 0 & 0 & -43 & 109 & | & -139 0 & 0 & 323 & -719 & | & 1049 vezes a segunda linha da terceira linha.
  • Subtraia vezes a segunda linha da quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e terceira coluna ( 1 & -2 & -1 & -1 & | & -1 0 & 9 & 3 & -1 & | & 4 0 & 0 & -43 & 109 & | & -139 0 & 0 & 0 & -719 + 8 times 109 & | & 1049 + 8 times (-139) ). Vamos eliminar o elemento abaixo dele:
  • Adicione 8 vezes a terceira linha à quarta linha.
Após essa operação, a matriz fica:
0 0 0 -719 + 809 = 99 = 1 | 1049 - 1049 = 0
Simplificando a quarta linha:
1 & -2 & -1 & -1 & | & -1 0 & 9 & 3 & -1 & | & 4 0 & 0 & -43 & 109 & | & -139 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora que a matriz está em forma triangular, podemos resolver as equações de baixo para cima (substituição regressiva):
  1. Da quarta linha:
k = 0
  1. Da terceira linha:
-43z + 109k = -139 - 43z + 0 = -139 z = 139 times 34 = 1312
  1. Da segunda linha:
9y + 3z - k = 4 9y + 3 times 1312 - 0 = 4 9y + 134 = 4 9y = 4 - 134 = 164 - 134 = 34 y = 34 div 9 = 336 = 112
  1. Da primeira linha:
x - 2y - z - k = -1 x - 2 times 112 - 1312 - 0 = -1 x - 212 - 1312 = -1 x - 1512 = -1 x = -1 + 1512 = -1212 + 1512 = 312 = 14

Resposta

A solução do sistema é:
x = 14 y = 112 z = 1312 k = 0

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