Dados a, b, x e y números reais positivos tais que
c raizx+raizy=b raizx-y=a
Determine raizx y em função de a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve números reais positivos a, b, x e y. As duas equações que a gente precisa resolver são:
c raizx + raizy = b raizx - y = a
Nosso objetivo é descobrir o valor de raizxy usando apenas a e b. Para isso, vamos precisar usar propriedades das raízes quadradas e resolver um sistema de equações. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para encontrar uma relação entre x e y. A segunda equação é:
raizx - y = a
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(raizx - y)^2 = a^2 x - y = a^2
Agora, podemos expressar x em função de y:
x = y + a^2

Passo 3

Agora que temos x em termos de y, vamos substituir esse valor na primeira equação do sistema. A primeira equação é:
raizx + raizy = b
Substituindo x por y + a^2:
raizy + a^2 + raizy = b

Passo 4

Para simplificar essa equação, vamos tentar eliminar as raízes quadradas. Vamos isolar uma das raízes:
raizy + a^2 = b - raizy
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado novamente para eliminar a raiz:
(raizy + a^2)^2 = (b - raizy)^2 y + a^2 = b^2 - 2braizy + y

Passo 5

Observamos que o termo y aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelado:
y + a^2 = b^2 - 2braizy + y a^2 = b^2 - 2braizy
Vamos isolar raizy:
2braizy = b^2 - a^2 raizy = b^2 - a^22b

Passo 6

Agora que temos raizy, podemos encontrar y elevando ambos os lados ao quadrado:
raizy = b^2 - a^22b y = (b^2 - a^22b)^2 y = (b^2 - a^2)^24b^2

Passo 7

Lembrando que já tínhamos x = y + a^2, vamos substituir y:
x = (b^2 - a^2)^24b^2 + a^2
Para simplificar, vamos colocar a^2 com denominador 4b^2:
x = (b^2 - a^2)^2 + 4a^2b^24b^2 x = b^4 - 2a^2b^2 + a^4 + 4a^2b^24b^2 x = b^4 + 2a^2b^2 + a^44b^2 x = (b^2 + a^2)^24b^2

Passo 8

Agora, queremos encontrar raizxy. Sabemos que:
x = (b^2 + a^2)^24b^2 y = (b^2 - a^2)^24b^2
Vamos multiplicar x por y:
xy = (b^2 + a^2)^24b^2 times (b^2 - a^2)^24b^2 xy = (b^2 + a^2)^2 (b^2 - a^2)^216b^4

Passo 9

Para simplificar, vamos extrair a raiz quadrada de xy:
raizxy = raiz(b^2 + a^2)^2 (b^2 - a^2)^216b^4 raizxy = (b^2 + a^2)(b^2 - a^2)4b^2
Simplificando mais, percebemos que (b^2 + a^2)(b^2 - a^2) = b^4 - a^4:
raizxy = b^4 - a^44b^2

Resposta

Então, raizxy em função de a e b é:
raizxy = b^4 - a^44b^2

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