Use o método da adição para resolva o sistema linear:
c2 x1+x2+x3+x4=32 x1+2 x2+x3+x4=64 x1+x2+2 x3+x4=128 x1+x2+x3+2 x4=256.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4). O conteúdo que vamos utilizar para resolver esse sistema é o método da adição (também conhecido como método da eliminação). Esse método envolve somar ou subtrair equações para eliminar uma ou mais variáveis, facilitando a resolução do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado:
2x1 + x2 + x3 + x4 = 32 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 64 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 128 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 256

Passo 3

Observamos que cada equação tem coeficientes semelhantes, sendo que em cada uma delas uma variável tem um coeficiente maior. Para simplificar, vamos somar todas as quatro equações. Isso ajudará a eliminar algumas variáveis de forma eficiente.

Passo 4

Somando todas as equações:
& (2x1 + x2 + x3 + x4) + & (x1 + 2x2 + x3 + x4) + & (x1 + x2 + 2x3 + x4) + & (x1 + x2 + x3 + 2x4) = & 32 + 64 + 128 + 256
Somando os coeficientes de cada variável e os termos constantes:
(2x1 + x1 + x1 + x1) + (x2 + 2x2 + x2 + x2) + (x3 + x3 + 2x3 + x3) + (x4 + x4 + x4 + 2x4) ) = 480
Simplificando:
5x1 + 5x2 + 5x3 + 5x4 = 480

Passo 5

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 5:
x1 + x2 + x3 + x4 = 96
Essa é a Equação 5.

Passo 6

Agora temos uma equação simplificada que relaciona todas as variáveis. Para encontrar os valores individuais de cada variável, vamos subtrair cada uma das equações originais da Equação 5.

Passo 7

Subtraindo a 1ª equação da Equação 5:
(x1 + x2 + x3 + x4) - (2x1 + x2 + x3 + x4) ) = 96 - 32
Simplificando:
- x1 = 64 implies x1 = -64

Passo 8

Subtraindo a 2ª equação da Equação 5:
(x1 + x2 + x3 + x4) - (x1 + 2x2 + x3 + x4) ) = 96 - 64
Simplificando:
- x2 = 32 implies x2 = -32

Passo 9

Subtraindo a 3ª equação da Equação 5:
(x1 + x2 + x3 + x4) - (x1 + x2 + 2x3 + x4) ) = 96 - 128
Simplificando:
- x3 = -32 implies x3 = 32

Passo 10

Subtraindo a 4ª equação da Equação 5:
(x1 + x2 + x3 + x4) - (x1 + x2 + x3 + 2x4) ) = 96 - 256
Simplificando:
- x4 = -160 implies x4 = 160

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -64, x2 = -32, x3 = 32, x4 = 160

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