I) [ccc3 & 0 & 4 7 & 4 & 2 -1 & 1 & 2][lx y z]=[c-1 -3 -1],
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
Método de Gauss Seidel

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Seidel. A gente tem um conjunto de três equações com três incógnitas: , e . Pra resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada uma fique isolando uma das incógnitas, o que é essencial para o Método de Gauss-Seidel funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma que cada variável esteja isolada. Isso significa rearranjar as equações originais:
  1. Primeira equação:
    x = -1 - 4z3
    Isolando y = -3 - 7x - 2z4 :
    z = -1 + x - y2
  2. Segunda equação:

    Isolando :
  3. Terceira equação:

    Isolando :

Passo 3

O Método de Gauss-Seidel funciona com iterações, ou seja, começamos com valores iniciais para x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0 , e e vamos atualizando esses valores passo a passo usando as equações que isolamos.
Vamos supor valores iniciais bem simples:

Passo 4

Primeira Ituação:
Usando as equações isoladas:
  1. Calcula x^(1) = -1 - 4(0)3 = -13 approx -0,333 :
    y^(1) = -3 - 7(-0,333) - 2(0)4 = -3 + 2,3334 = -0,6674 approx -0,167
  2. Calcula z^(1) = -1 + (-0,333) - (-0,167)2 = -1 -0,333 +0,1672 = -1,1662 approx -0,583 :
  3. Calcula :

Passo 5

Segunda Ituação:
Agora, usamos os valores atualizados x^(2) = -1 - 4(-0,583)3 = -1 +2,3333 = 1,3333 approx 0,444 , y^(2) = -3 - 7(0,444) - 2(-0,583)4 = -3 -3,111 +1,1664 = -4,9454 approx -1,236 e z^(2) = -1 +0,444 - (-1,236)2 = -1 +0,444 +1,2362 = -0,322 approx -0,16 para calcular as próximas aproximações.
  1. Calcula :
  2. Calcula :
  3. Calcula :

Passo 6

Terceira Ituação:
Continuamos com os novos valores x^(3) = -1 -4(-0,16)3 = -1 +0,643 = -0,363 approx -0,12 , y^(3) = -3 -7(-0,12) -2(-0,16)4 = -3 +0,84 +0,324 = -1,844 approx -0,46 e z^(3) = -1 + (-0,12) - (-0,46)2 = -1 -0,12 +0,462 = -0,662 approx -0,33 .
  1. Calcula :
  2. Calcula :
  3. Calcula :

Passo 7

Vamos fazer mais uma iteração para ver se os valores estão se estabilizando.
Quarta Iteração:
  1. Calcula x^(4) = -1 -4(-0,33)3 = -1 +1,323 = 0,323 approx 0,107 :
    y^(4) = -3 -7(0,107) -2(-0,33)4 = -3 -0,749 +0,664 = -3,0894 approx -0,772
  2. Calcula z^(4) = -1 +0,107 - (-0,772)2 = -1 +0,107 +0,7722 = -0,1212 approx -0,061 :
  3. Calcula :

Resposta

Após algumas iterações do Método de Gauss-Seidel, os valores aproximados das incógnitas são:
x approx 0,107, y approx -0,772, z approx -0,061

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