Dados f(x)=x ln x-1 sobre o intervalo [1,2], use o método da falsa posição para encontrar a aproximação x3, usando 4 casas decimais, completando a tabela a seguir:
k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk)
0 1 2 1.7213 -1.0 0.3863 -0.0651
1
2
3
[Resp. Encontra-se x3=1.7631=x2]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função no intervalo [1, 2]. Precisamos usar o método da falsa posição para encontrar uma aproximação para com 4 casas decimais. Isso envolve iterar para encontrar raízes da função, ou seja, valores de onde . Vamos precisar das fórmulas do método da falsa posição e calcular os valores intermediários para preencher a tabela.

Passo 2

No método da falsa posição, usamos a fórmula:
xk = bk - f(bk)(ak - bk)f(ak) - f(bk)
Essa fórmula nos dá uma nova aproximação a0 = 1, b0 = 2, x0 = 1.7213 com base nos valores atuais de f(a0) = -1.0, f(b0) = 0.3863, f(x0) = -0.0651 e . Depois de calcular , verificamos o sinal de para determinar qual subintervalo escolher para a próxima iteração.
Para , já temos:
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Então, para a próxima iteração, e .

Passo 3

Agora, calculamos x1 = 2 - 0.3863 times (1.7213 - 2)-1.0 - 0.3863 usando a fórmula:
x1 = 2 - 0.3863 times (-0.2787)-1.3863
x1 = 2 - -0.1075-1.3863 approx 2 - 0.0775 = 1.9225
f(1.9225) = 1.9225 ln(1.9225) - 1 approx 1.9225 times 0.6542 - 1 approx 1.2573 - 1 = 0.2573
Agora calculamos :
Como é positivo, a raiz está entre e .

Passo 4

Calculamos x2 = 1.9225 - 0.2573 times (1.7213 - 1.9225)-0.0651 - 0.2573 :
x2 = 1.9225 - 0.2573 times (-0.2012)-0.3224
x2 = 1.9225 - -0.0517-0.3224 approx 1.9225 - 0.1603 = 1.7622
f(1.7622) = 1.7622 ln(1.7622) - 1 approx 1.7622 times 0.5651 - 1 approx 0.9953 - 1 = -0.0047
Calculamos :
Agora, como é negativo, a raiz está entre e .

Resposta

A aproximação pelo método da falsa posição é .

Exercícios relacionados