Usando o método de Newton, começando com x0=2, encontre a aproximação x2 para a raíz da equação x^3-2 x-5=0. (Resposta: x2 simeq 2.0946 ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e queremos encontrar uma aproximação para a raiz dessa equação usando o método de Newton. Esse método é uma técnica iterativa que nos ajuda a encontrar raízes de funções. Para usar esse método, vamos precisar da função original e da sua derivada. Nosso ponto de partida é .

Passo 2

O método de Newton utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = 3x^2 - 2 e precisamos encontrar sua derivada . Derivando :

Passo 3

Vamos calcular f(2) = 2^3 - 2 times 2 - 5 = 8 - 4 - 5 = -1 e f'(2) = 3 times 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10 com :

Passo 4

Aplicando a fórmula de Newton para encontrar x1 = 2 - -110 = 2 + 0.1 = 2.1 :

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para encontrar f(2.1) = (2.1)^3 - 2 times 2.1 - 5 approx 9.261 - 4.2 - 5 = 0.061 . Primeiro, calculamos f'(2.1) = 3 times (2.1)^2 - 2 approx 3 times 4.41 - 2 = 13.23 - 2 = 11.23 e com :

Passo 6

Aplicando novamente a fórmula de Newton para encontrar x2 = 2.1 - 0.06111.23 approx 2.1 - 0.00543 approx 2.0946 :

Resposta

A aproximação para a raiz da equação após duas iterações do método de Newton é .

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