Use o método de Newton com valor inicial espeficado x0 para encontrar x2, a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(b) x^5-x-1=0, x0=1 (Resposta: x2 simeq 1.1785 ).

Passo 1

Vamos resolver a equação usando o método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função. Para isso, precisamos calcular derivadas e fazer algumas substituições usando o valor inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função f(x) = x^5 - x - 1 e sua derivada f'(x) = 5x^4 - 1 :
f(1) = 1^5 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1
f'(1) = 5(1)^4 - 1 = 5 - 1 = 4
Agora, calculamos x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1 - -14 = 1 + 0,25 = 1,25 e para :
Com esses valores, aplicamos a fórmula do método de Newton para encontrar :

Passo 3

Agora, usamos f(1,25) = (1,25)^5 - 1,25 - 1 para encontrar 1,25^2 = 1,5625 . Primeiro, calculamos 1,25^3 = 1,5625 times 1,25 = 1,953125 e 1,25^4 = 1,953125 times 1,25 = 2,44140625 :
1,25^5 = 2,44140625 times 1,25 = 3,0517578125
Calculando f(1,25) = 3,0517578125 - 1,25 - 1 = 0,8017578125 :
f'(1,25) = 5(1,25)^4 - 1 = 5 times 2,44140625 - 1 = 12,20703125 - 1 = 11,20703125
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 1,25 - 0,801757812511,20703125 approx 1,25 - 0,07146484375 = 1,17853515625
Então:
E a derivada:
Aplicamos novamente a fórmula do método de Newton:

Resposta

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