Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:
l x+y+0,5 z=-1,2 x+1,4 y-1,5 z=4 0,5 x-0,8 y+z=1,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear para encontrar soluções de sistemas de equações. Precisamos transformar essas equações em uma forma mais simples, onde conseguimos descobrir os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Isso facilita os cálculos:
1 & 1 & 0.5 & | & -1.2 1 & 1.4 & -1.5 & | & 4 0.5 & -0.8 & 1 & | & 1.2

Passo 3

Agora, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô para eliminar o 1 & 1 & 0.5 & | & -1.2 0 & 0.4 & -2 & | & 5.2 0 & -1.3 & 0.75 & | & 1.8 das outras linhas. Subtraímos a primeira linha da segunda e multiplicamos a primeira linha por 0.5 e subtraímos da terceira:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Depois dessa operação, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos usar o elemento 1 & 1 & 0.5 & | & -1.2 0 & 1 & -5 & | & 13 0 & 0 & -5.75 & | & 17.9 da segunda linha como pivô para eliminar o da terceira linha. Primeiro, dividimos a segunda linha por 0.4 para facilitar:
  • Linha 2: resulta em
Agora, usamos essa nova segunda linha para eliminar o da terceira linha:
  • Linha 3:
A matriz atualizada fica:

Passo 5

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos fazer a retrosubstituição para encontrar os valores das variáveis:
  1. Da terceira linha:
  2. Da segunda linha:
    Substituindo :



  3. Da primeira linha:
    Substituindo e :




Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
x approx 2.91, y approx -2.55, z approx -3.11

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