Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. (x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0]^T e varepsilon<10^-2)
x1-0,25 x2-0,25 x3 & =0 -0,25 x1+x2-0,25 x4 & =0 -0,25 x1+x3-0,25 x4 & =0,25 -0,25 x2+x4 & =0,25

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Ele começa com uma chute inicial (nesse caso, ) e vai refinando a solução até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a aplicação do método. A ideia do Gauss-Seidel é isolar cada variável em uma das equações. Vamos reorganizar cada equação para resolver cada x1 = 0.25x2 + 0.25x3 x2 = 0.25x1 + 0.25x4 x3 = 0.25x1 + 0.25x4 + 0.25 x4 = 0.25x2 + 0.25 em termos das outras variáveis:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com x1^(1) &= 0.25x2^(0) + 0.25x3^(0) = 0.25(0) + 0.25(0) = 0 x2^(1) &= 0.25x1^(1) + 0.25x4^(0) = 0.25(0) + 0.25(0) = 0 x3^(1) &= 0.25x1^(1) + 0.25x4^(0) + 0.25 = 0.25(0) + 0.25(0) + 0.25 = 0.25 x4^(1) &= 0.25x2^(1) + 0.25 = 0.25(0) + 0.25 = 0.25 . Em cada iteração, calculamos os novos valores de e usando as equações reorganizadas.
Iteração 1:
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda iteração usando x1^(2) &= 0.25x2^(1) + 0.25x3^(1) = 0.25(0) + 0.25(0.25) = 0.0625 x2^(2) &= 0.25x1^(2) + 0.25x4^(1) = 0.25(0.0625) + 0.25(0.25) = 0.015625 + 0.0625 = 0.078125 x3^(2) &= 0.25x1^(2) + 0.25x4^(1) + 0.25 = 0.25(0.0625) + 0.25(0.25) + 0.25 = 0.015625 + 0.0625 + 0.25 = 0.328125 x4^(2) &= 0.25x2^(2) + 0.25 = 0.25(0.078125) + 0.25 = 0.01953125 + 0.25 = 0.26953125 :
Iteração 2:
Então, .

Passo 5

Continuamos com a terceira iteração usando x1^(3) &= 0.25x2^(2) + 0.25x3^(2) = 0.25(0.078125) + 0.25(0.328125) = 0.01953125 + 0.08203125 = 0.1015625 x2^(3) &= 0.25x1^(3) + 0.25x4^(2) = 0.25(0.1015625) + 0.25(0.26953125) = 0.025390625 + 0.0673828125 = 0.0927734375 x3^(3) &= 0.25x1^(3) + 0.25x4^(2) + 0.25 = 0.25(0.1015625) + 0.25(0.26953125) + 0.25 = 0.025390625 + 0.0673828125 + 0.25 = 0.3427734375 x4^(3) &= 0.25x2^(3) + 0.25 = 0.25(0.0927734375) + 0.25 = 0.023193359375 + 0.25 = 0.273193359375 :
Iteração 3:
Então, .

Passo 6

Vamos verificar a diferença entre |x1^(3) - x1^(2)| &= |0.1015625 - 0.0625| = 0.0390625 |x2^(3) - x2^(2)| &= |0.0927734375 - 0.078125| = 0.0146484375 |x3^(3) - x3^(2)| &= |0.3427734375 - 0.328125| = 0.0146484375 |x4^(3) - x4^(2)| &= |0.273193359375 - 0.26953125| = 0.003662109375 e :
A maior diferença é , que ainda é maior que . Então, precisamos continuar.

Passo 7

Iteração 4:
Usando x1^(4) &= 0.25x2^(3) + 0.25x3^(3) = 0.25(0.0927734375) + 0.25(0.3427734375) = 0.023193359375 + 0.085693359375 = 0.10888671875 x2^(4) &= 0.25x1^(4) + 0.25x4^(3) = 0.25(0.10888671875) + 0.25(0.273193359375) = 0.0272216796875 + 0.06829833984375 = 0.09552001953125 x3^(4) &= 0.25x1^(4) + 0.25x4^(3) + 0.25 = 0.25(0.10888671875) + 0.25(0.273193359375) + 0.25 = 0.0272216796875 + 0.06829833984375 + 0.25 = 0.34552001953125 x4^(4) &= 0.25x2^(4) + 0.25 = 0.25(0.09552001953125) + 0.25 = 0.0238800048828125 + 0.25 = 0.2738800048828125 :
Então, .

Passo 8

Vamos verificar a diferença entre |x1^(4) - x1^(3)| &= |0.10888671875 - 0.1015625| = 0.00732421875 |x2^(4) - x2^(3)| &= |0.09552001953125 - 0.0927734375| = 0.00274658203125 |x3^(4) - x3^(3)| &= |0.34552001953125 - 0.3427734375| = 0.00274658203125 |x4^(4) - x4^(3)| &= |0.2738800048828125 - 0.273193359375| = 0.0006866455078125 e :
A maior diferença agora é , que já é menor que . Portanto, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
x = 0.1089 0.0955 0.3455 0.2739

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