Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Ele começa com uma chute inicial (nesse caso, ) e vai refinando a solução até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a aplicação do método. A ideia do Gauss-Seidel é isolar cada variável em uma das equações. Vamos reorganizar cada equação para resolver cada em termos das outras variáveis:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com . Em cada iteração, calculamos os novos valores de e usando as equações reorganizadas.
Iteração 1:
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda iteração usando :
Iteração 2:
Então, .

Passo 5

Continuamos com a terceira iteração usando :
Iteração 3:
Então, .

Passo 6

Vamos verificar a diferença entre e :
A maior diferença é , que ainda é maior que . Então, precisamos continuar.

Passo 7

Iteração 4:
Usando :
Então, .

Passo 8

Vamos verificar a diferença entre e :
A maior diferença agora é , que já é menor que . Portanto, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:

Exercícios relacionados

Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:
Dados sobre o intervalo [1,2], use o método da falsa posição para encontrar a aproximação , usando 4 casas decimais, completando a tabela a seguir:
0 1 2 1.7213 -1.0 0.3863 -0.0651
1
2
3
[Resp. Encontra-se
Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções . A solução começa com e , e com .
Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas: