Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Ele começa com uma chute inicial (nesse caso, ) e vai refinando a solução até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a aplicação do método. A ideia do Gauss-Seidel é isolar cada variável em uma das equações. Vamos reorganizar cada equação para resolver cada em termos das outras variáveis:
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com . Em cada iteração, calculamos os novos valores de e usando as equações reorganizadas.
Iteração 1:
Então, .
Passo 4
Vamos para a segunda iteração usando :
Iteração 2:
Então, .
Passo 5
Continuamos com a terceira iteração usando :
Iteração 3:
Então, .
Passo 6
Vamos verificar a diferença entre e :
A maior diferença é , que ainda é maior que . Então, precisamos continuar.
Passo 7
Iteração 4:
Usando :
Então, .
Passo 8
Vamos verificar a diferença entre e :
A maior diferença agora é , que já é menor que . Portanto, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é: