Dados os valores funcionais da função , calcule por meio de um spline interpolante cúbico.
1 1.5 2 2.5 3
1 0.5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular para a função usando um spline interpolante cúbico. Spline cúbico é uma técnica de interpolação que usa polinômios de terceiro grau para aproximar a função entre pontos dados, garantindo que a curva seja suave tanto na função quanto em suas primeiras e segundas derivadas. Para isso, vamos precisar dos valores de e fornecidos, e seguir passo a passo a construção do spline.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar em qual intervalo está o valor que queremos calcular, ou seja, . Observando a tabela:
1 1.5 2 2.5 3
1 0.5
Vemos que está entre e . Assim, vamos focar no intervalo para construir o spline cúbico.

Passo 3

Agora, vamos construir o polinômio cúbico para o intervalo . Um spline cúbico tem a forma geral:
Onde é o ponto inicial do intervalo. Precisamos determinar os coeficientes . Para isso, utilizamos as condições de interpolação e de suavidade.

Passo 4

As condições que vamos usar são:
  1. Interpolação dos pontos:
  2. Continuidade das derivadas:
  3. Continuidade das segundas derivadas:
Como estamos lidando com um único intervalo, algumas dessas condições se simplificam. Para um spline natural, as segundas derivadas nas extremidades são zero, mas como vamos focar no intervalo específico, vamos considerar apenas as condições de interpolação e continuidade das derivadas neste intervalo.

Passo 5

Vamos definir . Agora, estabelecemos as seguintes equações com base nas condições:
Como precisamos de mais informações sobre as derivadas, normalmente usaríamos os splines adjacentes para determinar isso, mas para simplificação, vamos assumir que a derivada em é igual à derivada da função original nesse ponto.

Passo 6

Calculando a derivada de :
Então,
Portanto, .

Passo 7

Substituindo e na segunda equação:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar denominadores:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo por 0.125:

Passo 8

Agora, vamos usar a condição da derivada em :
Calculando a derivada de :
Então,
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 36 para eliminar denominadores:
Somando 16 de ambos os lados:
Dividindo por 9:

Passo 9

Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos essa equação da primeira:

Passo 10

Com , substituímos na segunda equação original:

Passo 11

Agora que temos todos os coeficientes:
Podemos escrever o polinômio cúbico para o intervalo :

Passo 12

Finalmente, vamos calcular substituindo na expressão de :
Calculando cada termo:

Resposta

O valor aproximado de calculado pelo spline interpolante cúbico é .

Exercícios relacionados

Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto 1500 1250 1000 750 500
distância do alvo 35 25 15 10 7
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).
Seja a seguinte tabela referente à uma função :
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
a) Calcule por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
A partir da tabela a seguir, referente à função , e usando polinômios de Newton:
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.
Encontre uma aproximação para por spline cúbica interpolante da tabela:
0 0.5 1.0 1.5 2.0
3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536