Encontre uma aproximação para
por spline cúbica interpolante da tabela:
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0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
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3 | 1.8616 | -0.5571 | -4.1987 | -9.0536 |
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma tabela com alguns valores de
e
:
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0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
---|---|---|---|---|---|
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3 | 1.8616 | -0.5571 | -4.1987 | -9.0536 |
O objetivo é encontrar uma aproximação para
usando uma spline cúbica interpolante. Isso significa que vamos criar uma função suave que passa por todos esses pontos e usar essa função para estimar o valor em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma spline cúbica, como ela é construída e como podemos usá-la para interpolar valores entre os pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma spline cúbica. Uma spline cúbica é uma função composta por vários polinômios de terceiro grau (cúbicos) que se ligam de forma suave nos pontos de dados fornecidos. A ideia é que entre cada par de pontos
e
, haja um polinômio cúbico que não só passa por esses pontos, mas também tem continuidade na primeira e segunda derivadas nos intervalos, garantindo uma transição suave.
No nosso caso, temos cinco pontos, então teremos quatro intervalos:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Como queremos encontrar
, que está no primeiro intervalo (
a
), vamos focar nesse intervalo para criar nosso polinômio cúbico.
Passo 3
Vamos supor que o polinômio cúbico no primeiro intervalo seja da forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
e
.
Sabemos que:
Além disso, para garantir a suavidade, precisamos que a derivada primeira e segunda de
no ponto
sejam iguais às derivadas do próximo polinômio no mesmo ponto, mas como estamos focando apenas no primeiro intervalo, vamos considerar condições naturais, onde as segundas derivadas nas extremidades são zero.
Vamos começar aplicando as condições conhecidas.
Passo 4
Aplicando a primeira condição
:
Agora, aplicando a segunda condição
:
Simplificando:
Agora, vamos considerar as condições das derivadas. Como estamos usando condições naturais, temos que a segunda derivada nas extremidades (neste caso, em
) é zero.
A segunda derivada de
é:
Aplicando
:
Agora, podemos substituir
na equação anterior:
Passo 5
A partir da equação acima, podemos expressar uma relação entre
e
. Precisamos de mais uma equação para resolver os dois incógnitos.
Podemos obter essa equação considerando a continuidade da primeira derivada na fronteira com o próximo intervalo. No entanto, como estamos focando apenas no primeiro intervalo e aplicando condições naturais, a derivada no ponto
não está restrita por outro polinômio. Para simplificar, podemos assumir uma segunda condição, como a derivada primeira em
ser igual a zero, o que é uma característica das condições naturais.
A primeira derivada de
é:
Aplicando
:
Agora, substituindo
na equação anterior:
Passo 6
Agora que já encontramos
,
e
, podemos escrever o polinômio cúbico no primeiro intervalo:
Para encontrar
, substituímos
nesse polinômio:
Resposta
A aproximação para
usando a spline cúbica interpolante é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
A partir da tabela a seguir, referente à função
, e usando polinômios de Newton:
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0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
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0 | 0.09983 | 0.19867 | 0.29552 | 0.38942 |
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.
b) interpole sen
Dados os valores funcionais da função
, calcule
por meio de um spline interpolante cúbico.
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1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
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1 |
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0.5 |
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Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: