Encontre uma aproximação para f(0.25) por spline cúbica interpolante da tabela:
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f(x) 3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma tabela com alguns valores de e :
0 0.5 1.0 1.5 2.0
3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536
O objetivo é encontrar uma aproximação para usando uma spline cúbica interpolante. Isso significa que vamos criar uma função suave que passa por todos esses pontos e usar essa função para estimar o valor em .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma spline cúbica, como ela é construída e como podemos usá-la para interpolar valores entre os pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma spline cúbica. Uma spline cúbica é uma função composta por vários polinômios de terceiro grau (cúbicos) que se ligam de forma suave nos pontos de dados fornecidos. A ideia é que entre cada par de pontos e , haja um polinômio cúbico que não só passa por esses pontos, mas também tem continuidade na primeira e segunda derivadas nos intervalos, garantindo uma transição suave.
No nosso caso, temos cinco pontos, então teremos quatro intervalos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
  4. De a
Como queremos encontrar , que está no primeiro intervalo ( a ), vamos focar nesse intervalo para criar nosso polinômio cúbico.

Passo 3

Vamos supor que o polinômio cúbico no primeiro intervalo seja da forma:
S1(x) = a1 x^3 + b1 x^2 + c1 x + d1
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes e .
Sabemos que:
Além disso, para garantir a suavidade, precisamos que a derivada primeira e segunda de no ponto sejam iguais às derivadas do próximo polinômio no mesmo ponto, mas como estamos focando apenas no primeiro intervalo, vamos considerar condições naturais, onde as segundas derivadas nas extremidades são zero.
Vamos começar aplicando as condições conhecidas.

Passo 4

Aplicando a primeira condição a1 (0)^3 + b1 (0)^2 + c1 (0) + d1 = 3 implies d1 = 3 :
a1 (0.5)^3 + b1 (0.5)^2 + c1 (0.5) + 3 = 1.8616
Agora, aplicando a segunda condição 0.125 a1 + 0.25 b1 + 0.5 c1 + 3 = 1.8616 implies 0.125 a1 + 0.25 b1 + 0.5 c1 = -1.1384 :
S1''(x) = 6 a1 x + 2 b1
Simplificando:
6 a1 (0) + 2 b1 = 0 implies b1 = 0
Agora, vamos considerar as condições das derivadas. Como estamos usando condições naturais, temos que a segunda derivada nas extremidades (neste caso, em 0.125 a1 + 0 + 0.5 c1 = -1.1384 implies 0.125 a1 + 0.5 c1 = -1.1384 ) é zero.
A segunda derivada de é:
Aplicando :
Agora, podemos substituir na equação anterior:

Passo 5

A partir da equação acima, podemos expressar uma relação entre S1'(x) = 3 a1 x^2 + 2 b1 x + c1 e 3 a1 (0)^2 + 2 b1 (0) + c1 = 0 implies c1 = 0 . Precisamos de mais uma equação para resolver os dois incógnitos.
Podemos obter essa equação considerando a continuidade da primeira derivada na fronteira com o próximo intervalo. No entanto, como estamos focando apenas no primeiro intervalo e aplicando condições naturais, a derivada no ponto 0.125 a1 + 0.5 (0) = -1.1384 implies 0.125 a1 = -1.1384 implies a1 = -1.13840.125 = -9.1072 não está restrita por outro polinômio. Para simplificar, podemos assumir uma segunda condição, como a derivada primeira em ser igual a zero, o que é uma característica das condições naturais.
A primeira derivada de é:
Aplicando :
Agora, substituindo na equação anterior:

Passo 6

Agora que já encontramos S1(x) = -9.1072 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 3 = -9.1072 x^3 + 3 , f(0.25) = S1(0.25) = -9.1072 (0.25)^3 + 3 = -9.1072 (0.015625) + 3 = -0.1420 + 3 = 2.8580 e , podemos escrever o polinômio cúbico no primeiro intervalo:
Para encontrar , substituímos nesse polinômio:

Resposta

A aproximação para usando a spline cúbica interpolante é aproximadamente .

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